正交变换

在线性代数中，正交变换是线性变换的一种。如果对于任意向量$\mathbf {u}$和$\mathbf {v}$其内积等于正交变换后之向量$T({\displaystyle \mathbf {u} })$和$T({\displaystyle \mathbf {v} })$之内积，则称之为正交变换。

$\langle {\mathbf {u} ,\mathbf {v} }\rangle =\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle$

按照长度的定义，可知正交变换后的向量长度与变换前的长度相同。

$\|T(\mathbf {x} )\|=\|\mathbf {x} \|$

其中$\|\mathbf {x} \|$在空间$R^{n}$内，$n$表示维度。

$\langle {\mathbf {u} ,\mathbf {v} }\rangle =\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle =\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}u[n]v[n]\displaystyle$

其中$N$为向量长度，$u[n]$和$v[n]$分别为$\mathbf {u}$和$\mathbf {v}$之元素，正交变换不会影响变换前后向量间的夹角和内积长度。

在矩阵表示形式上，如果$T(\mathbf {x} )=\mathbf {A} \mathbf {x}$为正交变换，则为$\mathbf {A}$正交矩阵，对于正交变换之正交矩阵$\mathbf {A}$，其每个列互为正交，令$\mathbf {A}$为$M\times N$之矩阵，取两个不相同的列$\phi _{k}$和$\phi _{h}$ ($k\neq h$)遵守下列关系。

$\langle \phi _{k},\phi _{h}\rangle =0$

性质

1. 正交变换$T$不会改变向量间的正交性，如果$\mathbf {u}$和$\mathbf {v}$正交，则$T({\displaystyle \mathbf {u} })$和$T({\displaystyle \mathbf {v} })$亦为正交。

$Proof:$

根据勾股定理，正交变换后的向量会符合下式：

$\|T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )\|^{2}=\|T(\mathbf {u} )\|^{2}+\|T(\mathbf {v} )\|^{2}$

因为正交变换属于线性变换：

$\|T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )\|^{2}=\|T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )\|^{2}$

正交变换前后向量的长度相同：

$\|T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )\|^{2}=\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}$

再根据勾股定理，且和正交：

$\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}=\|\mathbf {u} \|^{2}+\|\mathbf {v} \|^{2}$

再根据正交变换的性质，正交变换前后向量的长度相同：

$\|\mathbf {u} \|^{2}+\|\mathbf {v} \|^{2}=\|T(\mathbf {u} )\|^{2}+\|T(\mathbf {v} )\|^{2}$

2. 如果$\mathbf {A}$和$\mathbf {B}$皆为正交矩阵，则$\mathbf {AB}$亦为正交矩阵。

$Proof:$

令一正交变换为：

$T(\mathbf {x} )=\mathbf {ABx}$

正交变换后长度不变：

$\|T(\mathbf {x} )\|=\|\mathbf {ABx} \|=\|\mathbf {A(Bx)} \|=\|\mathbf {Bx} \|=\|\mathbf {x} \|$

3. 如果$\mathbf {A}$为正交矩阵，$\mathbf {A}$的反矩阵$\mathbf {A} ^{-1}$亦为正交矩阵。

$Proof:$

令一正交变换为：

$T(\mathbf {x} )=\mathbf {Ax}$

单位矩阵$\mathbf {I}$和$\mathbf {x}$相乘为$\mathbf {x}$自己，且矩阵和反矩阵相乘为单位矩阵：

$\mathbf {Ix} =\mathbf {AA^{-1}x} =\mathbf {x}$

正交变换后长度不变：

$\|\mathbf {AA^{-1}x} \|=\|\mathbf {A(A^{-1}x)} \|=\|\mathbf {x} \|$

4. 正交变换容易做反运算

$Proof:$

令ㄧ正交矩阵$\mathbf {A}$，$\mathbf {A}$和$\mathbf {A} ^{H}$相乘为一对角矩阵$\mathbf {D}$，其中上标$H$表示Hermitain运算。

$\mathbf {A} \mathbf {A} ^{H}=\mathbf {D}$

将$\mathbf {D}$乘上自己的反矩阵$\mathbf {D} ^{-1}$可得一单为矩阵$\mathbf {I}$。

$\mathbf {D} \mathbf {D} ^{-1}=\mathbf {I}$

又$\mathbf {D}$可分解为$\mathbf {A}$和$\mathbf {A} ^{H}$

$\mathbf {A} \mathbf {A} ^{H}\mathbf {D} ^{-1}=\mathbf {I}$

根据上式，将两侧乘上$\mathbf {A}$的反矩阵$\mathbf {A} ^{-1}$即可得知的反矩阵知公式。

$\mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{H}\mathbf {D} ^{-1}$

计算$\mathbf {D}$的反矩阵$\mathbf {D} ^{-1}$比直接求反矩阵容易，只要相对角线之值做倒数即可。如果$\mathbf {A} ^{T}$的每一行皆为单位向量，则：

$\mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {A} ^{H}$

5. 对于正交变换$T$，如果$\mathbf {u}$和$\mathbf {v}$可以做内积，$T({\displaystyle \mathbf {u} })$和$T({\displaystyle \mathbf {v} })$做内积之值等于$\mathbf {u}$和$\mathbf {v}$做内积之值。

$Proof:$

根据极化恒等式：

$\langle {\mathbf {x} ,\mathbf {y} }\rangle ={\frac {1}{4}}(\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|^{2}-\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|^{2})$

将上式代入$T({\displaystyle \mathbf {u} })$和$T({\displaystyle \mathbf {v} })$：

$\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle ={\frac {1}{4}}(\|T(\mathbf {u} )+T(\mathbf {v} )\|^{2}-\|T(\mathbf {u} )-T(\mathbf {v} )\|^{2})$

因为$T$为线性变换，变换前做加减法和变换后做加减法之值应相同：

$\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle ={\frac {1}{4}}(\|T(\mathbf {u} +\mathbf {v} )\|^{2}-\|T(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\|^{2})$

正交变换前后向量的长度相同：

$\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle ={\frac {1}{4}}(\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}-\|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|^{2})$

再根代入$\mathbf {u}$和$\mathbf {v}$之据极化恒等式：

$\langle {T(\mathbf {u} ),T(\mathbf {v} )}\rangle =\langle {\mathbf {u} ,\mathbf {v} }\rangle$

范例和应用

正交变换的种类非常的广，像是discrete Fourier transform、discrete cosine, sine, Hartley transforms、Walsh Transform, Haar Transform等都属于正交变换。对矩阵做旋转或是镜射也属于正交变换。这里会举出一些简单的正交变换例子。

1. 对于$reflect_{V}()$以subspace $V$为基准做镜射($V$ in $R^{n}$)，令$\mathbf {x} ^{\shortparallel }$为平行之向量，$\mathbf {x} ^{\perp }$为正交之向量：

$\|reflect_{V}(\mathbf {x} )\|^{2}=\|\mathbf {x} ^{\shortparallel }-\mathbf {x} ^{\perp }\|^{2}$

因为$\mathbf {x} ^{\shortparallel }$和$\mathbf {x} ^{\perp }$互为正交，可以根据勾股定理做分解：

$\|reflect_{V}(\mathbf {x} )\|^{2}=\|\mathbf {x} ^{\shortparallel }\|^{2}+\|-\mathbf {x} ^{\perp }\|^{2}=\|\mathbf {x} ^{\shortparallel }\|^{2}+\|\mathbf {x} ^{\perp }\|^{2}=\|\mathbf {x} \|^{2}$

2. 这里以DFT为例证明DFT矩阵为正交矩阵，对于$N$点DFT，可得一个$N\times N$矩阵，且$\omega ^{n}=e^{j2\pi n/N}$：

$\mathbf {W} ={\frac {1}{\sqrt {N}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\cdots &\omega ^{N-1}\\1&\omega ^{2}&\omega ^{4}&\cdots &\omega ^{2(N-1)}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\1&\omega ^{N-1}&\omega ^{2(N-1)}&\cdots &\omega ^{(N-1)(N-1)}\end{bmatrix}}$

$\mathbf {W}$为symmetric矩阵，令的$\mathbf {W}$每个列为：

$\mathbf {w} _{n}={\begin{bmatrix}1&\omega ^{n}&\omega ^{2}n&\cdots &\omega ^{(N-1)n}\end{bmatrix}}$

令任意二列做内积：

$\langle {\mathbf {w} _{m},\mathbf {w} _{n}}\rangle =\mathbf {w} _{m}\centerdot \mathbf {w} _{n}^{H}={\frac {1}{N}}\textstyle \sum _{k=0}^{N-1}e^{j2\pi km/N}e^{-j2\pi kn/N}\displaystyle ={\frac {1}{N}}\textstyle \sum _{k=0}^{N-1}e^{j(2\pi km/N)(m-n)}\displaystyle$

上式可以化成pulse function，只有列和自己做内积才为$1$，即：

$\langle {\mathbf {w} _{m},\mathbf {w} _{n}}\rangle ={\begin{cases}1,&{\text{if }}m=n\\0,&{\text{if }}m\neq n\end{cases}}$

3. 正交变换可以参数计算变得容易，令$\phi _{n}$为正交矩阵的列，列彼此互相正交，$c_{n}$而为$\phi _{n}$对应之参数，即给定下式中的$y$和$\phi _{n}$，参数$c_{n}$之值可以很容易的计算出来。

$y=\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}c_{n}\phi _{n}\displaystyle$

如果要求出$c_{m}$，则将上式与$\phi _{m}$做内积：

$\langle y,\phi _{m}\rangle =\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}c_{n}\langle \phi _{n},\phi _{m}\rangle \displaystyle$

因为在$n\neq m$时，$\phi _{n}$和$\phi _{m}$做内积为0，可得下式：

$\langle y,\phi _{m}\rangle =c_{m}\langle \phi _{m},\phi _{m}\rangle$

最后同除$\langle \phi _{m},\phi _{m}\rangle$即可得到对应之参数：

$c_{m}={\frac {\langle y,\phi _{m}\rangle }{\langle \phi _{m},\phi _{m}\rangle }}$

4. 在讯号压缩上，对于原始讯号：

$y=\textstyle \sum _{n=0}^{N-1}c_{n}\phi _{n}\displaystyle$

假设进行压缩，要压缩成：

${\hat {y}}=\textstyle \sum _{n=0}^{K-1}c_{n}\phi _{n}\displaystyle$

当$K\leq N$时，$K$越大，$|y-{\hat {y}}|$越小

5. 在通讯应用上，会利用正交基来和讯号做调变，正交的特性会使通道间不会互相干扰。

参见

• 瑕旋转
• 内积空间
• 线性变换
• 正交矩阵
• 酉变换

参考文献

3. Ding, J. J. (2017). Advanced Digital Signal Processing [Powerpoint slides] http://djj.ee.ntu.edu.tw/ADSP15.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）

4. Chang, C.H. (2004). Linear Algebra [PDF slides] http://staff.csie.ncu.edu.tw/chia/Course/LinearAlgebra/sec5-3.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）

5. (2007). [PDF slides] http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic138287.files/Lesson15_-_Orthogonal_Transformations_and_Orthogonal_Matrices_slides.pdf