截角 (幾何)
 截角示意圖，其將欲截去頂點的位置標記出來。 | ||
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 截角的正方形是一個 正八邊形[1]： t{4} = {8}   =  
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 截角的立方體是一個 截角立方體[2]： t{4,3} 或 
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 截角的立方體堆砌是一個 截角立方體堆砌[3]： t{4,3,4} 或
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在幾何學中，截角[4]是一種將幾何形狀之頂點截去的操作，也就是一種將多邊形、多面體、密鋪、鑲嵌或更高維的多胞體切去頂點，並在切去的頂點建立新的面、邊與頂點的一種多面體變換[5]。這個詞來自開普勒為阿基米德立體命的名稱，其中有七種阿基米德立體可使用柏拉圖立體套用截角變換構造[6]。
定義
编辑在幾何學中，截角是一種針對多面體或多胞形的變換，若有一個多胞形P，則對P的截角計為tP，其定義為對P截角會產生一個新的多胞形tP，該多胞形為截去P的所有頂點，並將被截去的部分以該頂點對應的頂點圖替換之，而此項由頂點圖替換的元素稱為截面。一個多胞形P的截角結果tP一般會由兩種維面組成，一是截角變換產生的截面、二是多胞形P原本的維面被截角後的像。未截去所有頂點的截角操作稱為部分截角（partial truncate）[7]，如部分截角截四階角五角二十四面體（只截特定角的五角二十四面體）、截對角六方偏方面體（截頂角的偏方面體）或平截頭體（截頂角的錐體，又稱錐台）[8]。由於有時某些立體的部分截角通常以截角稱呼，因此部分文獻會用完全截角（Fully truncate）來區分這種情況[9]。
均勻截角
编辑
一般而言，任何多面體都可以以任何深度或角度進行截角，但也有一些切法符合所謂正規或均勻多面體的標準，例如：康威多面體表示法中的t（截角操作）[10]。
若不是任意截角的話，就是特殊的截角。特殊的截角通常暗示著它是一個均勻的截角，也就是說，施加在正多面體上會得到一個等邊的半正多面體或均勻多面體。它的幾何意義是固定的，就像正多面體[11]。
截角多邊形
编辑一個若多邊形的邊數為n，則截角後會形成邊數為2n的多邊形，換句話說n邊形的截角結果為2n邊形。舉例來說，三角形的截角結果通常為六邊形[12]。而多邊形的最大截角，即截角截至中點（又稱截半）則會導致多邊形變為對偶多邊形[13]。
 {3}
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 t{3} = {6}
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 r{3} = {3}
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截角多面體或更高維的圖形
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當截角一詞被用在正多面體或正鑲嵌圖上時，通常代表「均勻截角」[14]，其通常代表截角截至所有面都是正多邊形的深度。
上表則展示了立方體透過截角深度不斷加深的截角變換將立方體變換為截角立方體和截半立方體的過程。
若原像在施萊夫利符號中計為{p,q,...}，則在上圖表中間的紫色截角結果可以記為t{p,q,...}[15]。而截半為截角截到原本的稜消失，因此截半也稱為完全截角[16]。
繼續更深入地截角同樣可以產生被截之面為正多邊形面的均勻截角形式。比截半再更深入的均勻截角形式為過截角。過截角的效果為移除多面體面的所有邊，但有保留部分多面體原有面的內部之局部。截角八面體則為立方體套用過截角變換後的像。[17]
過截角同樣也存在完全截角的形式，即完全過截角，又稱為過截半或雙截半。其效果為截角截到原有面消失的深度[18]。大部分的三維圖形經過過截半變換後會轉變為對偶多面體，例如正八面體為立方體過截半的結果，在施萊夫利符號中可以用2r{4,3}表示。
| 原像 | 較淺的截角 | 均勻截角 | 較深的截角 | 截半 | 過截角 | 對偶 |
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 正四面體 |
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 截角四面體 |
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 正八面體 |
 截角四面體 |
 正四面體 |
 正八面體 |
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 截角八面體 |
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 截半立方體 |
截角立方体 |
 立方體 |
 正二十面體 |
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 截角二十面體 |
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 截半二十面體 |
 截角十二面体 |
 正十二面體 |
 小星形十二面體 |
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 截角小星形十二面體 |
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 截半大十二面體 |
 截角大十二面體 |
 大十二面體 |
 大星形十二面體 |
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 截角大星形十二面體 |
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 大截半二十面体 |
 截角大二十面體 |
 大二十面體 |
裁邊
编辑裁邊又稱截邊、裁稜或截稜是一種與截角類似的操作，其為將一個幾何結構的所有稜或邊切去。裁邊在三維空間中稱為倒角，其結果為將多面體的所有稜替換成六邊形面[19]。在四維空間中則會使幾何結構的所有稜被替換為雙角錐柱形狀的胞[20]。
廣義截角
编辑
線性的截角可以推廣到負的截角深度，或截到中點後將邊反向連接形成邊自相交的多邊形作為截角深度更深的截角結果，這種截角有時稱為超截角或星形截角。透過這種廣義的截角可以行稱一些星形多面體和一些均勻多面體。[21]
- 淺截角：原有邊的長度減短、面被截成邊數為原有邊數兩倍的多邊形，且截面以舊頂點為中心。[22]
- 反截角：一種與淺截角相反的截角[23]。
- 均勻截角：截角結果為所有稜等長的各類截角之特例[14][15]。
- 完全截角：又稱截半，為淺截角的極限，其結果會使原有幾何圖形的邊變成一個點[16]。
- 超截角：比截半更深入的截角形式，由於超出了截半的截角深度，其使原始的邊反轉（向外延伸到截面），並導致出現同一立體面與邊自我相交的情況。[24]
- 星形截角：比超截角更深入的截角。若將一般的截角視為將面向外移動並將空處補上截面（例如截角的正方形為八邊形，可以視為將正方形的四條邊遠離幾何中心再將4個空隙處補上截邊），則星形截角則可以視為面的處理與一般截角反向的截角結果（例如星形截角的正方形為八邊形，可以視為將正方形的四條邊向幾何中心靠近，此時四條邊兩兩相交，再將4個空隙處補上截邊，形成星形八邊形），其可以將部分幾何圖形轉變成星形[25]。
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 ⇨ |
 立方體 {4,3} |
 ⇨ |
 截角 t{4,3} |
 ⇨ |
 截半 r{4,3} |
 ⇩ |
 反截角 |
 超截角 | |||||
 ⇧ |
 星形截半 |
 ⇦ |
 星形截角 t{4/3,3} |
 ⇦ |
 超截半 |
 ⇦ |
參見
编辑參考文獻
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外部連結
编辑- 埃里克·韦斯坦因. Truncation. MathWorld.
- Olshevsky, George, Truncation at Glossary for Hyperspace.
- Polyhedra Names, truncation （页面存档备份，存于互联网档案馆）
| 原像 | 截角 | 截半 | 過截角 | 對偶 | 擴展 | 全截 | 交錯 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 半變換 | 扭稜 | ||||||||
   
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t1{p,q} r{p,q} |
t12{p,q} 2t{p,q} |
t2{p,q} 2r{p,q} |
t02{p,q} rr{p,q} |
t012{p,q} tr{p,q} |
ht0{p,q} h{q,p} |
ht12{p,q} s{q,p} |
ht012{p,q} sr{p,q} |