星形多邊形

一般非凸多边形
(重定向自星形正多邊形
兩種星形多邊形

{5/2}

|5/2|
正五角星{5/2}是一種星形多邊形,有五個頂點和互相相交的邊,其可以對應到一個凹十邊形|5/2|。

小星形十二面體

鑲嵌

幾何學中,星形多邊形是一種外觀有數個向外凸起的非凸多邊形。目前幾何學上尚未有一個廣泛被接受的星形多邊形定義,目前較常見的定義為存在頂點不和相鄰頂點連接的多邊形[1][2],或者從一般多邊形透過截角或延長邊並使其相交所形成的形狀[3]。目前有被從多個角度進行研究的星形多邊形只有星形正多邊形。數學家布蘭科·格倫鮑姆英语Branko Grünbaum指出了兩種由克卜勒提出的定義:一種是具有自相交的星形正多邊形,且自相交的稜不產生新的頂點,另一種是等邊簡單凹多邊形[5]

命名

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星形多邊形一般有許多向外突出的角,一般依照其向外突出之角的數量命名,如五角星,部分文獻將之稱為一個芒,整體形狀以芒數命名,如五芒星[6]六芒星[7]

簡單等邊星形多邊形

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若一星形多邊形是一個簡單多邊形或邊不相交的多邊形,則該星形多邊形不可能為星形正多邊形,因為若將星形正多邊形的相交邊移除,則其不再正多邊形,但可以形成等邊多邊形。這類等邊多邊形通常由2個落在半徑不同的圓上之頂點交錯連接構成。數學家布蘭科·格倫鮑姆英语Branko Grünbaum在其著作《Tilings and Patterns》中將這類多邊形以符號 表示由星形多邊形 移除相交線段後構成的星形多邊形,例如星形多邊形 移除位於內部的線段後的結果計為  表達一個內角 度的n角星[5]

簡單等邊星形多邊形
|n/d|
{nα}
 
{330°}
 
{630°}
|5/2|
{536°}
 
{445°}
|8/3|
{845°}
|6/2|
{660°}
 
{572°}
α 30° 36° 45° 60° 72°
β 150° 90° 72° 135° 90° 120° 144°
等邊星形多邊形              
對應的星形正多邊形  
{12/5}
 
{5/2}
 
{8/3}
 
2{3}
星形圖英语Star figure
 
{10/3}

星形正多邊形

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{5/2}
 
{7/2}
 
{7/3}...

星形正多邊形包括五角星八角星等等,n角星的施萊夫利符號為{n/m},其中m是小於n/2且和n互質的正整數。托馬斯·布拉德華是最早系統性地對星形正多邊形的研究的學者,後來约翰内斯·开普勒也做了類似的研究。[8]

參見

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參考文獻

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  1. ^ 星型多角形は特殊な図形か (PDF). fzk.ed.shizuoka.ac.jp. [2019-11-11]. (原始内容存档 (PDF)于2019-11-11). 
  2. ^ 志凌資訊 劉緻儀. 跟我學CorelDRAW X7向量彩繪創意. 碁峰資訊股份有限公司. 2014. ISBN 9789863473107. 
  3. ^ 五角星形. shuxuele.com. [2019-11-11]. (原始内容存档于2019-11-11). 
  4. ^ Grünbaum, B.英语Branko Grünbaum, G.C. Shephard; Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1
  5. ^ 5.0 5.1 Grünbaum & Shephard 1987,[4] section 2.5
  6. ^ 高柳茜. 丸にとらわれたお星さま!?ファンタジックで美しい数学 ~星型正n角形k点飛ばしにおける面積の一般化公式を導く~. milive.jp. [2019-11-11]. (原始内容存档于2019-11-11). 
  7. ^ 羅東六芒星超美主燈!「歡樂宜蘭年」讓你有走迷宮感覺. 東森新聞雲. 2019-02-12 [2019-11-11]. (原始内容存档于2021-05-16). 
  8. ^ Coxeter, Introduction to Geometry, second edition, 2.8 Star polygons p.36-38