大数 (数学)

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正數 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整數 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代數數 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
複數 $\mathbb {C}$
高斯整數 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整數 $\mathbb {Z} ^{-}$
分數
 單位分數
 二进分数
 規矩數
 無理數
 超越數
 虚数 $\mathbb {I}$
二次無理數
 艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元數 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元數 $\mathbb {S}$
超實數 $^{*}\mathbb {R}$
大實數
 上超實數

雙曲複數
 雙複數
 複四元數
共四元數（英语：Dual quaternion）
超复数
 超數
 超現實數

其他

質數 $\mathbb {P}$
可計算數
 基數
 阿列夫數
 同餘
 整數數列
 公稱值

規矩數
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 進數
 数学常数

圓周率 $\pi =3.14159265$ …
自然對數的底 $e=2.718281828$ …
虛數單位 $i={\sqrt {-{1}}}$
無限大 $\infty$

大数是指远远超出了日常生活使用范围（例如简单的计数或金融交易）的数字，在各个领域都发挥着至关重要的作用。这些庞大的数量在数学、宇宙学、密码学和统计力学中占有重要地位。虽然它们通常表现为较大的正整数，但它们也可以在不同情况下呈现其他形式（例如P进数）。大数学（英語：Googology）^[1]深入研究了这些巨大数字实体的命名约定和属性。

表示法

科学计数法

大数字通常采用科学计数法计数，即把数字记成ɑ×10ⁿ形式（其中1≤|ɑ|<10）。如59000写作5.9×10⁴等。

分级法

數量級	中文萬進制	短級差 (美国, 东欧, 加拿大和澳大利亚英语以及现代英语)	長級差 (西欧中欧和加拿大法语以及老式英语)
10¹	十	Ten
10²	百	Hundred
10³	千	Thousand
10⁴	萬
10⁶	百萬	Million
10⁸	億
10⁹	十億	Billion	Milliard
10¹²	兆 ^[2]	Trillion	Billion
10¹⁵	千兆	Quadrillion	Billiard
10¹⁶	京
10¹⁸	百京	Quintillion	Trillion
10²⁰	垓
10²¹	十垓	Sextillion
10²⁴	秭	Septillion	Quadrillion
10²⁷	千秭	Octillion
10²⁸	穰
10³⁰	百穰	Nonillion	Quintillion
10³²	溝
10³³	十溝	Decillion
10³⁶	澗	Undecillion	Sextillion
10³⁹	千澗	Duodecillion
10⁴⁰	正
10⁴²	百正	Tredecillion	Septillion
10⁴⁴	載
10⁴⁵	十載	Quattuordecillion
10⁴⁸	極	Quindecillion	Octillion
10⁵¹	千極	Sexdecillion
10⁵²	恆河沙
10⁵⁴		Septendecillion	Nonillion
10⁵⁶	阿僧祇
10⁵⁷		Octodecillion
10⁶⁰	那由他	Novemdecillion	Decillion
10⁶³		Vigintillion
10⁶⁴	不可思議
10⁶⁶		Unvigintillion	Undecillion
10⁶⁸	無量
10⁶⁹		Duovigintillion
10⁷²	大數	Tresvigintillion	Duodecillion
10⁷⁵		Quattuorvigintillion
10⁷⁸			Tredecillion
10⁸⁴			Quattuordecillion
10⁹⁰			Quindecillion
10⁹³		Trigintillion
10⁹⁶			Sexdecillion
10¹⁰⁰	古戈爾（Googol)
10¹⁰²			Septendecillion
10¹⁰⁸			Octodecillion
10¹¹⁴			Novemdecillion
10¹²⁰			Vigintillion
10¹²³		Quadragintillion
10¹⁵³		Quinquagintillion
10¹⁸⁰			Trigintillion
10¹⁸³		Sexagintillion
10²¹³		Septuagintillion
10²⁴³		Octogintillion
10²⁷³		Nonagintillion
10³⁰³		Centillion
10⁶⁰⁰			Centillion
10³⁰⁰³		Millinillion^[3]
10⁶⁰⁰⁰			Millinillion
10^10¹⁰⁰	古戈爾普勒克斯（Googolplex)
10^{10^10¹⁰⁰}	Googolplexian

著名的大数

googol（果戈尔、古高尔）

美国数学家爱德华·卡斯纳（Edward Kasner）在1940年创造，代表10¹⁰⁰（1后面接100个0，按数位念作“一万亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿”，一万后念12个“亿”）

googolplex（果戈尔普莱克斯、古戈尔普勒克斯）

表示10的一个古戈尔次幂，即10^10¹⁰⁰（1后面接10¹⁰⁰个0）。

斯奎斯数（英語：Skewes' number）

表示素数计数函数與对数积分函數交叉點的數值上界，斯奎斯於1933年證明了其中一個上界，又被稱作第一斯奎斯數：

e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}

（左為準確值，右為近似值）。

葛立恆數（簡稱G64，因為必須使用64層高德納箭號表示法才表示得出來）

TREE(3)（英语：TREE(3)）

拉約數（英語：Rayo's number）

大數記號

雖然在現實世界中，使用指數來表示大數就已經綽綽有餘，但是在少數的數學問題中會用到的大數，如葛立恆數，仍然是不能用指數來表示的。為了表達這樣的大數，數學家們想出了以下記號：

高德納箭號表示法多層嵌套的指數塔，是一個簡單的符號。
超運算按照加法、乘法和冪的遞迴模式來構造更高級的運算，本質上跟箭號表示法是一樣的。
康威鏈式箭號表示法這種記號是箭號表示法的一種延伸，它能夠表示遠遠超出葛立恆數的數。
斯坦豪斯-莫澤表示法透過多邊形來表示大數。
超階乘是階乘的一個擴展。
阿克曼函數是一個二元函數，增長率非常快，跟高德納箭號表示法是同一個等級。
旋轉箭號表示法它是箭號表示法跟鏈式箭號表示法的延伸，並且所能構造的大數比它們更大。
BEAF就算是開頭的線性數陣等級，也遠遠超越了上面的大多數記號。
SUPER它是上面線性數陣的延伸，能够構造出遠遠大於上面線性數陣的超級大數。

大数表示发展史

大数的表示最早在古希腊数学家阿基米德开始，他在理论上提出了一种表示大数的方法，但他是否创设了适当的符号不得而知。在他的著作《论数沙》中有这样一段文字：

有人认为，无论是在叙拉古城，还是在整个西西里岛或者在世界上有人烟和没有人迹的地方，沙粒的数目都是无穷的；也有人认为沙粒的数目不是无穷的‘但是想表示沙子的数目是办不到的……但是，我要告诉大家，用我找到的方法，不但能表示出占地球那么大地方的沙粒的数目，甚至还能表示把所有的海洋和洞穴都填满了沙粒，这些沙粒总数不会超过1后面有100个零。

在这段文字中，“1后面连续有100个零”即10¹⁰⁰。^[4]

参考文献

^ 曹知秋. 大数理论 (PDF). ISBN 9787230134729.
^ 目前对“兆应该表示几”有争议。在《中华人民共和国法定计量单位》的国际单位制词头中，代表一百万（10⁶）的词头mega被翻译成“兆”。台湾的《法定度量衡單位及其使用之倍數、分數之名稱、定義及代號》中，代表一万亿（10¹²）的词头tera被翻译成“兆”。在中国大陆官方的《新华字典》中，“兆”的定义是“①百万②古代指万亿”。
^ Stewart, Ian. Infinity: A Very Short Introduction illustrated. Oxford University Press. 2017: 20 [2021-02-10]. ISBN 978-0-19-875523-4. （原始内容存档于2020-11-06）. Extract of page 20 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ 徐品方张红. 数学符号史. 科学出版社. ISBN 978-7-03-017017-0 （中文（中国大陆））.

[1] 曹知秋. 大数理论 (PDF). ISBN 9787230134729.

[2] 目前对“兆应该表示几”有争议。在《中华人民共和国法定计量单位》的国际单位制词头中，代表一百万（10⁶）的词头mega被翻译成“兆”。台湾的《法定度量衡單位及其使用之倍數、分數之名稱、定義及代號》中，代表一万亿（10¹²）的词头tera被翻译成“兆”。在中国大陆官方的《新华字典》中，“兆”的定义是“①百万②古代指万亿”。

[3] Stewart, Ian. Infinity: A Very Short Introduction illustrated. Oxford University Press. 2017: 20 [2021-02-10]. ISBN 978-0-19-875523-4. （原始内容存档于2020-11-06）. Extract of page 20 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[4] 徐品方张红. 数学符号史. 科学出版社. ISBN 978-7-03-017017-0 （中文（中国大陆））.

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