数系是人类将自然中的数量关系抽象化得到的代数系统 。最早建立的数系是带有加法与乘法的自然数
N
=
{
0
,
1
,
2
,
3
⋯
}
{\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3\cdots \}}
,其後引入了负数 、分数 的概念,形成了有理数
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
[ 1] :32 。
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
是“最小的”能够包容四则运算 的代数系统[ N 1] ,这样的系统在近世代数中称为域 [ 2] 。
数系的拓展中,自然数系到有理数系的拓展是基于代数运算的需求,而有理数系到实数系的拓展则是拓扑学 的需要。这里的拓扑指的是为代数体系赋予“形状”,定义“远近”、“长短”等概念,是建立几何 和分析 结构的基础。一个常见的拓扑学方法是引入“距离”的概念,正式称呼为度量 [ 3] 。最直观的定义是将两个有理数的“距离”(度量)
d
{\displaystyle d}
定义为两者之差的绝对值 :
d
(
x
,
y
)
=
|
x
−
y
|
.
{\displaystyle d(x,y)=|x-y|.}
两个有理数之间的度量是一个非负的有理数。也即是说度量
d
{\displaystyle d}
是一个从有理数域映射到非负有理数集合的二元函数:
Q
×
Q
→
Q
+
=
{
x
∈
Q
;
x
⩾
0
}
{\displaystyle \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q} ^{+}=\{x\in \mathbb {Q} ;\;\;x\geqslant 0\}}
。其中
Q
+
{\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}}
的大小关系则是有理数域上定义的全序 。这个度量基于欧几里得几何 ,叫做欧几里得度量或绝对值度量[ 3] 。
在
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
上装备了度量後,可以讨论极限 的概念。极限描述了一个数列在下标趋于无穷时的趋势,是分析学的基础。如果一个有理数列在下标趋于无穷时,数列的项与某个数
l
∈
Q
{\displaystyle l\in \mathbb {Q} }
的距离可以小于任意给定的正有理数,就称
l
{\displaystyle l}
为此数列的极限。拥有极限的数列的项在下标趋于无穷时相互无限“靠近”。但反过来,这样的数列不一定拥有有理数极限。比如说以下数列:
1
2
,
2
3
,
3
5
,
5
8
,
8
13
,
⋯
{\displaystyle {\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{5}},{\frac {5}{8}},{\frac {8}{13}},\cdots }
这说明有理数在表示长度和距离的时候是不完备的,存在着无法用有理数表达的长度[ 2] 。为此需要对有理数进行扩展,称为完备化 [ 3] 。
将
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
完备化的拓扑方法由格奥尔格·康托 提出。康托的方法依赖于现称为柯西数列 的概念。柯西数列是一种可以用任意“小”的“圆盘”覆盖从某项起所有项的无穷数列。某个有理数数列
(
a
n
)
n
∈
N
∈
Q
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {Q} ^{\mathbb {N} }}
是柯西数列,当且仅当 对任意有理数
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
,都存在自然数
N
ϵ
∈
N
{\displaystyle N_{\epsilon }\in \mathbb {N} }
,使得对任意
n
,
m
>
N
ϵ
{\displaystyle n,m>N_{\epsilon }}
,都有
d
(
a
n
,
a
m
)
<
ϵ
{\displaystyle d(a_{n},a_{m})<\epsilon }
。康托承认每个这样的有理数数列都收敛到某个极限,将实数 定义为某个柯西数列的极限[ 2] 。显然,对于所有有理数,都能找到一个以它为极限的柯西数列,比如常数数列。如果当两个柯西数列
(
a
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
和
(
b
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
的差:
(
a
n
−
b
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (a_{n}-b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
收敛于
0
{\displaystyle 0}
,就称这两个数列等价,这样就可以在所有的柯西数列中建立等价关系 。而康托将所有的等价类的集合定义为实数集
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
。四则运算、绝对值度量和序关系“
>
{\displaystyle >}
”都可以从有理数域自然诱导到
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
上。最重要的是,可以证明,所有
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
中元素构成的柯西数列都收敛到
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
中。这说明
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
是一个有序完备数域[ 3] 。
实数
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
作为
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
的完备化是建立在绝对值度量上的,这种度量与日常现实中的欧几里德式的“距离”概念吻合,符合直观经验。实数也因此成为描述现实世界的有力数学工具。
p
{\displaystyle p}
进数与实数的不同在于,它是将绝对值度量改为另一种非直观的度量对有理数进行完备化後得到的完备数域[ 4] :8 [ 5] :50-51 。
在有理数
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
上引入绝对值度量,与此对应的柯西序列 的等价类 构成了完备数域
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
。
p
{\displaystyle p}
进数则是在
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
上引入不同的度量后进行完备化得到的完备数域。
给定素数
p
{\displaystyle p}
。对任意
x
∈
Q
{\displaystyle x\in \mathbb {Q} }
,将其写为分数形式
x
=
a
b
{\displaystyle x={\frac {a}{b}}}
,其中
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
是整数,
b
{\displaystyle b}
不等于0。根据算术基本定理 ,每个整数都可以唯一分解为素因数的乘积。考察
p
{\displaystyle p}
在
a
{\displaystyle a}
和
b
{\displaystyle b}
的素因数分解中的次数
ord
p
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {ord} _{p}(a)}
和
ord
p
(
b
)
{\displaystyle \operatorname {ord} _{p}(b)}
,定义
p
{\displaystyle p}
进赋值 [ 6] :90 [ 4] :1-2 :
ν
p
(
x
)
=
ord
p
(
a
)
−
ord
p
(
b
)
.
{\displaystyle \nu _{p}(x)=\operatorname {ord} _{p}(a)-\operatorname {ord} _{p}(b).}
同时约定
ν
p
(
0
)
=
+
∞
{\displaystyle \nu _{p}(0)=+\infty }
。例如
p
=
5
{\displaystyle p=5}
,
x
=
63
550
{\displaystyle x={\frac {63}{550}}}
,则
ν
p
(
x
)
=
ord
p
(
63
)
−
ord
p
(
550
)
=
0
−
2
=
−
2.
{\displaystyle \nu _{p}(x)=\operatorname {ord} _{p}(63)-\operatorname {ord} _{p}(550)=0-2=-2.}
在此基础上,可以定义度量映射以及其对应诱导的范数 [ 7] :59 [ 4] :2 [ 6] :90 :
d
p
(
x
,
y
)
=
p
−
ν
p
(
x
−
y
)
,
|
x
|
p
=
p
−
ν
p
(
x
)
.
{\displaystyle \operatorname {d} _{p}(x,y)=p^{-\nu _{p}(x-y)},\quad |x|_{p}=p^{-\nu _{p}(x)}.}
例如
d
5
(
64
550
,
1
550
)
=
5
−
ν
5
(
63
550
)
=
5
2
,
|
63
550
|
5
=
5
−
ν
5
(
63
550
)
=
5
2
.
{\displaystyle \operatorname {d} _{5}({\frac {64}{550}},{\frac {1}{550}})=5^{-\nu _{5}({\frac {63}{550}})}=5^{2},\quad \left|{\frac {63}{550}}\right|_{5}=5^{-\nu _{5}({\frac {63}{550}})}=5^{2}.}
可以验证映射
d
p
{\displaystyle \operatorname {d} _{p}}
满足度量所需的一切性质[ 7] :59 。因此,用与构造实数相同的手段,可以构造一个完备有序数域,记作
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
[ 6] :90 [ 7] :60-61 。
由奥斯特洛夫斯基定理 ,
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
的所有绝对值赋值 或者等价于绝对值,或为平凡赋值,或等价于某素数
p
{\displaystyle p}
的
p
{\displaystyle p}
进赋值。从而
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
(关于某赋值)的完备化 也只有这些[ 5] :46 [ 4] :3 。
用代数的方法,首先定义
p
{\displaystyle p}
进整数环
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
,然后构造其分式域 ,也可以得到
p
{\displaystyle p}
进数域[ 6] :92 。
首先考虑由整数模
p
n
{\displaystyle p^{n}}
的同余类 构成的环:
Z
/
p
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }
。
Z
/
p
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }
与
Z
/
p
n
−
1
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n-1}\mathbb {Z} }
之间存在自然的环同态 [ 8] :
φ
n
:
{
Z
/
p
n
Z
→
Z
/
p
n
−
1
Z
x
↦
x
mod
p
n
−
1
{\displaystyle \varphi _{n}:{\begin{cases}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{n-1}\mathbb {Z} \\x\mapsto x{\bmod {p^{n-1}}}\end{cases}}}
[ N 2] [ 8]
考察逆向链:
⋯
→
φ
n
+
1
Z
/
p
n
Z
→
φ
n
Z
/
p
n
−
1
Z
→
φ
n
−
1
⋯
→
φ
3
Z
/
p
2
Z
→
φ
2
Z
/
p
Z
{\displaystyle \cdots \;{\xrightarrow {\varphi _{n+1}}}\;\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} \;{\xrightarrow {\varphi _{n}}}\;\mathbb {Z} /p^{n-1}\mathbb {Z} \;{\xrightarrow {\varphi _{n-1}}}\;\cdots \;{\xrightarrow {\varphi _{3}}}\;\mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} \;{\xrightarrow {\varphi _{2}}}\;\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
定义
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
为其逆向极限 :
Z
p
=
lim
⟵
(
Z
/
p
n
Z
,
φ
n
)
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\;\lim _{\longleftarrow }\left(\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,\varphi _{n}\right)}
[ 7] :56 [ 8] 。
也就是说,每个
p
{\displaystyle p}
进整数
a
∈
Z
p
{\displaystyle a\in \mathbb {Z} _{p}}
被定义为以下的序列[ 8] :
a
=
{
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
,
⋯
}
{\displaystyle a=\{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \;\}}
其中
a
n
≡
a
n
−
1
(
mod
p
n
−
1
)
{\displaystyle a_{n}\equiv a_{n-1}{\pmod {p^{n-1}}}}
。可以证明,这样定义的
p
{\displaystyle p}
进整数环
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
与拓扑方法构造的
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
中通过
Z
p
=
{
x
;
|
x
|
p
⩽
1
}
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\{x\;;\;|x|_{p}\leqslant 1\}}
定义的
p
{\displaystyle p}
进整数环是同构 的[ 6] :91-92 。
在以上的定义下,整数
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
可以自然地嵌入
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
中,每个整数都可以依照它在
Z
/
p
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }
的同余类,唯一表示为一个
p
{\displaystyle p}
进整数[ 6] :91 [ 8] 。例如在
p
=
3
{\displaystyle p=3}
时,整数3629在
Z
3
{\displaystyle \mathbb {Z} _{3}}
中对应的3进整数可以表示为:
3629
3
=
{
2
,
2
,
11
,
65
,
227
,
713
,
1442
,
3629
,
3629
,
3629
,
⋯
}
.
{\displaystyle 3629_{3}=\{2,2,11,65,227,713,1442,3629,3629,3629,\cdots \;\}.}
从上面的例子可以看到,对于正整数,
a
n
{\displaystyle a_{n}}
将收敛于
a
{\displaystyle a}
本身,对于负整数情况则复杂一些,例如,
−
1
3
=
{
2
,
8
,
26
,
80
,
242
,
⋯
}
.
{\displaystyle -1_{3}=\{2,8,26,80,242,\cdots \;\}.}
由于环同态
φ
n
{\displaystyle \varphi _{n}}
良好地保持了环的结构,所以这种结构自然地延伸到逆向极限
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
中。直观上可以理解为,
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
是
Z
/
p
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }
结构的极限。
n
{\displaystyle n}
越大,
Z
/
p
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }
和
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
就越“相似”。
p
{\displaystyle p}
进整数环
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
中的单位元 显然是
1
p
=
{
1
,
1
,
⋯
,
1
,
⋯
}
,
{\displaystyle 1_{p}=\{1,1,\cdots ,1,\cdots \;\},}
一个
p
{\displaystyle p}
进整数
a
∈
Z
p
=
{
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
,
⋯
}
{\displaystyle a\in \mathbb {Z} _{p}=\{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \;\}}
是(乘法)可逆元 当且仅当
a
1
{\displaystyle a_{1}}
是
Z
/
p
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
中的可逆元[ 6] :91 [ 8] 。非可逆元的元素都可以表达为:
a
=
p
v
p
(
a
)
u
=
{
p
v
p
(
a
)
u
1
,
p
v
p
(
a
)
u
2
,
⋯
,
p
v
p
(
a
)
u
n
,
⋯
}
,
{\displaystyle a=p^{v_{p}(a)}u=\{p^{v_{p}(a)}u_{1},p^{v_{p}(a)}u_{2},\cdots ,p^{v_{p}(a)}u_{n},\cdots \;\},}
其中
u
=
{
u
1
,
u
2
,
⋯
,
u
n
,
⋯
}
{\displaystyle u=\{u_{1},u_{2},\cdots ,u_{n},\cdots \;\}}
是
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
中的可逆元,
v
p
(
a
)
{\displaystyle v_{p}(a)}
称为
p
{\displaystyle p}
进整数
a
{\displaystyle a}
的(代数)赋值[ 8] 。可以看出,这个赋值和拓扑构造时的赋值是等价的。可以证明
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
是特征 为0的整环 [ 8] 。构造
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
的分式域 ,可以证明其分式域(在恰当的拓扑同构的意义上[ N 3] )等于前面用拓扑方法构造的
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
[ 6] :92 [ 8] 。
每个
p
{\displaystyle p}
进数
x
∈
Q
p
{\displaystyle x\in \mathbb {Q} _{p}}
都有唯一的展开式[ 7] :57 :
x
=
α
−
k
p
k
+
α
−
k
+
1
p
k
−
1
+
⋯
+
α
0
+
α
1
p
+
⋯
+
α
i
p
i
+
⋯
=
∑
i
=
−
k
∞
α
i
p
i
.
{\displaystyle x={\frac {\alpha _{-k}}{p^{k}}}+{\frac {\alpha _{-k+1}}{p^{k-1}}}+\cdots +\alpha _{0}+\alpha _{1}p+\cdots +\alpha _{i}p^{i}+\cdots =\sum _{i=-k}^{\infty }\alpha _{i}p^{i}.}
其中
k
{\displaystyle k}
就是
x
{\displaystyle x}
的
p
{\displaystyle p}
进赋值
ν
p
(
x
)
{\displaystyle \nu _{p}(x)}
,
a
i
∈
{
0
,
1
,
⋯
,
p
−
1
}
{\displaystyle a_{i}\in \{0,1,\cdots ,p-1\}}
,
a
−
k
≠
0
{\displaystyle a_{-k}\neq 0}
。这一展开式在度量
d
p
{\displaystyle \operatorname {d} _{p}}
下收敛 到
x
{\displaystyle x}
[ 4] :14 。代数构造中
p
{\displaystyle p}
进整数的数列表示的第
N
{\displaystyle N}
项,等于其展开式前
N
{\displaystyle N}
项的部分和。设
p
{\displaystyle p}
进整数
x
{\displaystyle x}
的数列表示为
{
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
,
⋯
}
{\displaystyle \{a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n},\cdots \}}
,其展开式为
∑
i
=
0
∞
α
i
p
i
{\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }\alpha _{i}p^{i}}
,则
a
N
=
∑
i
=
0
N
−
1
α
i
p
i
.
{\displaystyle a_{N}=\sum _{i=0}^{N-1}\alpha _{i}p^{i}.}
这说明
p
{\displaystyle p}
进整数数列表示中,随着项数增大,数列的项在
d
p
{\displaystyle \operatorname {d} _{p}}
下收敛到
p
{\displaystyle p}
进整数自身。
仿照有理数中
p
{\displaystyle p}
进制 的记数法 ,可以将
p
{\displaystyle p}
进数
x
{\displaystyle x}
记为:
x
=
⋯
α
i
α
i
−
1
⋯
α
1
α
0
.
α
−
1
⋯
α
−
k
+
1
α
−
k
{\displaystyle x=\cdots \alpha _{i}\alpha _{i-1}\cdots \alpha _{1}\alpha _{0}.\alpha _{-1}\cdots \alpha _{-k+1}\alpha _{-k}}
[ 6] :92 ,
称为
p
{\displaystyle p}
进数的
p
{\displaystyle p}
进记法。
按
d
p
{\displaystyle \operatorname {d} _{p}}
的定义,
x
{\displaystyle x}
的“大小”(范数)为
p
k
{\displaystyle p^{k}}
[ 6] :92 。也就是说,一个
p
{\displaystyle p}
进数小数点后位数越多则越大。这个性质与实数正好相反。
从代数构造方法中可知,整数
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
可以自然地嵌入
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
中,因此非负整数在
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
中表现为有限位数的
p
{\displaystyle p}
进整数。其
p
{\displaystyle p}
进记法和
p
{\displaystyle p}
进制记数法雷同。例如当
p
=
5
{\displaystyle p=5}
时,自然数
438
{\displaystyle 438}
记为:
3223
5
{\displaystyle 3223_{5}}
。负整数和分母不为
p
{\displaystyle p}
的正整数次幂的分数在
p
{\displaystyle p}
进记法中则表现为向左侧延伸的无限循环[ 9] :39 。例如
1
7
{\displaystyle {\frac {1}{7}}}
的
p
{\displaystyle p}
进记法为:
1
7
=
…
2412032412033
5
=
2
˙
4120
3
˙
3
5
{\displaystyle {\frac {1}{7}}=\dots 2412032412033_{5}={\dot {2}}4120{\dot {3}}3_{5}\;}
。
计算方法如下:
5
3
−
6
7
=
32
5
,
5
9
−
6
7
=
32412032
5
,
5
15
−
6
7
=
32412032412032
5
,
⋯
{\displaystyle {\frac {5^{3}-6}{7}}=32_{5}\;,\quad {\frac {5^{9}-6}{7}}=32412032_{5}\;,\quad {\frac {5^{15}-6}{7}}=32412032412032_{5}\;,\;\cdots }
⇒
−
6
7
=
lim
k
→
+
∞
−
6
7
+
5
6
k
+
3
7
=
…
32412032412032
5
.
(
|
5
6
k
+
3
7
|
5
=
1
5
6
k
+
3
→
k
→
+
∞
0
.
)
{\displaystyle \Rightarrow -{\frac {6}{7}}=\lim _{k\to +\infty }-{\frac {6}{7}}+{\frac {5^{6k+3}}{7}}=\dots 32412032412032_{5}\;.\quad \left(\left|{\frac {5^{6k+3}}{7}}\right|_{5}={\frac {1}{5^{6k+3}}}\;{\xrightarrow {k\to +\infty }}\;0\;.\right)}
⇒
1
7
=
−
6
7
+
1
=
…
2412032412033
5
=
2
˙
4120
3
˙
3
5
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {1}{7}}=-{\frac {6}{7}}+1=\dots 2412032412033_{5}={\dot {2}}4120{\dot {3}}3_{5}\;}
。
如果有理数
x
{\displaystyle x}
的分子或分母里含有
p
{\displaystyle p}
的幂次,则可以仿照
p
{\displaystyle p}
进制记数法的做法,先将其提出作为因数,写成
x
=
p
k
a
b
{\displaystyle x=p^{k}{\frac {a}{b}}}
的形式,将
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
表达为
p
{\displaystyle p}
进记法,然后移动小数点得到
x
{\displaystyle x}
的
p
{\displaystyle p}
进记法。例如要求
1
175
{\displaystyle {\frac {1}{175}}}
的
p
{\displaystyle p}
进记法,可以先将
1
175
{\displaystyle {\frac {1}{175}}}
表示为
1
175
=
5
−
2
1
7
{\displaystyle {\frac {1}{175}}=5^{-2}{\frac {1}{7}}}
,写出
1
7
{\displaystyle {\frac {1}{7}}}
的
p
{\displaystyle p}
进记法後,将小数点向左移动两位得到:
1
175
=
3
˙
2412
0
˙
.33
5
{\displaystyle {\frac {1}{175}}={\dot {3}}2412{\dot {0}}.33_{5}}
因此,分母为
p
{\displaystyle p}
的正整数次幂的分数在
p
{\displaystyle p}
进数中表现为有限小数。
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
具有许多与
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
不同的特性,其中某些可能违反直观直觉。举例来说,
Q
5
{\displaystyle \mathbb {Q} _{5}}
中不存在平方等于7的数(等价于实数中的
7
{\displaystyle {\sqrt {7}}}
),但存在平方等于-1的数(等价于复数中的虚数单位
i
{\displaystyle i}
)。一般来说,-1在
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
中有平方根 ,当且仅当
p
{\displaystyle p}
除以 4余1[ 10] 。对不相同的质数
p
{\displaystyle p}
、
q
{\displaystyle q}
,
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
与
Q
q
{\displaystyle \mathbb {Q} _{q}}
不同构,并且它们的交集只有
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
。每一个
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
中的元素个数都是不可数 的[ 11] 。
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
上的范数
|
⋅
|
p
{\displaystyle |\cdot |_{p}}
是一个超度量 的范数。它不仅满足三角不等式 ,而且满足更强的关系:
|
x
+
y
|
p
⩽
max
{
|
x
|
p
,
|
y
|
p
}
.
{\displaystyle |x+y|_{p}\leqslant \max\{|x|_{p},|y|_{p}\}.}
这说明,如果将
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
想象成一个几何空间,那么其中的三角形的一边长度总小于等于另外两边中较长者,也就是说所有的三角形都是锐角等腰三角形。这与实际中的欧式几何空间完全不同。由此
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
与
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
具有截然不同的拓扑性质[ 6] :90 。另外可證明說超度量中的不等號可以等號取代。
在
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
中,一个数列
(
x
n
)
n
∈
N
{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
收敛当且仅当
x
n
+
1
−
x
n
{\displaystyle x_{n+1}-x_{n}}
趋于0。一个无穷级数
∑
n
∈
N
{\displaystyle \scriptstyle \sum _{n\in \mathbb {N} }}
u
n
{\displaystyle u_{n}}
收敛当且仅当
u
n
{\displaystyle u_{n}}
趋于0。
考虑
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
中的一个“球”:
B
r
(
x
0
)
=
{
x
∈
Q
p
;
|
x
−
x
0
|
p
⩽
r
}
{\displaystyle B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {Q} _{p}\;;\;|x-x_{0}|_{p}\leqslant r\}}
。这个球即是开集 ,也是闭集 。这个球中每一个点,都是球的球心。两个球之间或者完全不相交,或者一个完全在另一个里面[ 6] :90 。
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
上的拓扑是完全不连通 的豪斯多夫空间 :设有元素
x
∈
Q
p
{\displaystyle x\in \mathbb {Q} _{p}}
,则包含
x
{\displaystyle x}
的连通单元 只有
{
x
}
{\displaystyle \{x\}}
.[ 6] :90-91
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
是由
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
完备化而得,因此
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
在
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
中稠密 。不仅如此,任意给定有限个质数
p
1
,
p
2
,
⋯
,
p
k
{\displaystyle p_{1},p_{2},\cdots ,p_{k}}
和正有理数
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
,并在相应的
p
{\displaystyle p}
进数域中各选定一个数:
β
1
∈
Q
p
1
,
β
2
∈
Q
p
2
,
⋯
,
β
k
∈
Q
p
k
{\displaystyle \beta _{1}\in \mathbb {Q} _{p_{1}},\beta _{2}\in \mathbb {Q} _{p_{2}},\cdots ,\beta _{k}\in \mathbb {Q} _{p_{k}}}
後,都可找到有理数
ω
{\displaystyle \omega }
,它与任一个
β
i
∈
Q
p
i
,
i
∈
{
1
,
2
,
⋯
,
k
}
{\displaystyle \beta _{i}\in \mathbb {Q} _{p_{i}},\;\;i\in \{1,2,\cdots ,k\}}
之间的距离都小于
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
[ N 4] [ 11] 。
p
{\displaystyle p}
进整数
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
定义为所有范数不大于1的
p
{\displaystyle p}
进数:
Z
p
=
{
x
;
|
x
|
p
⩽
1
}
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}=\{x\;;\;|x|_{p}\leqslant 1\}}
。这说明
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
就是
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
的单位球[ 7] :61 [ 5] :60 。其“球面”为所有范数等于1的
p
{\displaystyle p}
进整数集合:
Z
p
×
=
{
x
;
|
x
|
p
=
1
}
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }=\{x\;;\;|x|_{p}=1\}}
,亦即
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
中所有可逆元的集合[ 7] :61 。
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
是紧致 的[ 6] :93 [ 5] :64 。所有的整数都是
p
{\displaystyle p}
进整数,整数集合
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
在
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
中稠密 [ 7] :61 [ 5] :60 。
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
中的任一个球
B
r
(
x
0
)
{\displaystyle B_{r}(x_{0})}
都可以表达为
x
0
+
p
m
Z
p
{\displaystyle x_{0}+p^{m}\mathbb {Z} _{p}}
,其中的
m
{\displaystyle m}
是使得
p
−
m
⩽
r
{\displaystyle p^{-m}\leqslant r}
的最小整数[ 6] :93 [ 5] :63 。
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
是局部紧致 的[ 6] :93 [ 5] :64 。
代数上,
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
是
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
的分式域。更准确地说,
Q
p
=
Z
p
[
1
p
]
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\mathbb {Z} _{p}\scriptstyle \left[{\frac {1}{p}}\right]}
。也即是说,对每一个
x
∈
Q
p
{\displaystyle x\in \mathbb {Q} _{p}}
,都存在整数
k
{\displaystyle k}
,使得
p
k
x
∈
Z
p
{\displaystyle p^{k}x\in \mathbb {Z} _{p}}
[ 5] :62 [ 6] :92 [ 9] :36 。
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
是特征为0的主理想 整环 。
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
的非零理想 只有主理想
I
k
=
p
k
Z
p
{\displaystyle I_{k}=p^{k}\mathbb {Z} _{p}}
,其中
k
{\displaystyle k}
是任意自然数 [ 7] :61 [ 9] :6 。它唯一的极大理想是
I
1
{\displaystyle I_{1}}
[ 8] [ 5] :60 。根据同构基本定理 ,
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
对
I
1
{\displaystyle I_{1}}
的商同构于有限域
F
p
{\displaystyle \mathbb {F} _{p}}
[ 8] 。类似地,
Z
p
/
p
n
Z
p
{\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}
同构于
Z
/
p
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }
[ 9] :34 。
实数域
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
只有一个真代数扩张 ,就是复数域
C
=
R
(
i
)
{\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} (i)}
。
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
不仅是代数闭域 ,而且是完备的。域扩张
C
/
R
{\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }
的次数为2。与此不同的是,
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
的任何有限扩张 都不是代数封闭的,
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
的代數閉包 是
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
上的无限扩张,一般记作
Q
¯
p
{\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}}
。将
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
上的拓扑拓延到
Q
¯
p
{\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}}
後会发现,
Q
¯
p
{\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}}
并不是完备的空间。使用标准方法将其完备化後,得到的空间称为
p
{\displaystyle p}
进复数 ,记作
C
p
{\displaystyle \mathbb {C} _{p}}
。
C
p
{\displaystyle \mathbb {C} _{p}}
和复数域
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
是代数同构的,可以视为装备了另一种拓扑结构(超度量)的复数域[ 6] :94 。
如果
p
{\displaystyle p}
是奇数 ,那么
n
{\displaystyle n}
次单位根 属于
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
当且仅当
n
{\displaystyle n}
整除
p
{\displaystyle p}
-1。换句话说,
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
中由单位根构成的群只有
U
p
−
1
{\displaystyle \mathbb {U} _{p-1}}
及其子群。
p
=
2
{\displaystyle p=2}
时,单位根只有1和-1[ 9] :110 。
^ 此处指
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
对四则运算封闭等条件,具体参见域 条目中的定义。
^ 其中自变量
x
{\displaystyle x}
为
Z
/
p
n
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }
的元素,而映射符号右侧的“
x
mod
p
n
−
1
{\displaystyle x{\bmod {p^{n-1}}}}
”表示一个
Z
/
p
n
−
1
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n-1}\mathbb {Z} }
中元素,其中的
x
{\displaystyle x}
指
x
{\displaystyle x}
在整数中的自然对应元素。例如当
p
=
3
{\displaystyle p=3}
时,
φ
2
{\displaystyle \varphi _{2}}
将同余类
7
¯
9
∈
Z
/
3
2
Z
{\displaystyle {\bar {7}}_{9}\in \mathbb {Z} /3^{2}\mathbb {Z} }
映射到
7
mod
3
{\displaystyle 7\mod {3}}
,也就是
1
¯
3
∈
Z
/
3
Z
{\displaystyle {\bar {1}}_{3}\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} }
。正文中为了叙述简便,使用混淆的表达方式。
^ 使用等价的赋值构造的拓扑结构。
^
ω
{\displaystyle \omega }
与
β
i
{\displaystyle \beta _{i}}
间的距离小于
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
指的是在相应的度量
d
p
i
{\displaystyle \operatorname {d} _{p_{i}}}
下的距离:
|
ω
−
β
i
|
p
i
<
ϵ
{\displaystyle \left|\omega -\beta _{i}\right|_{p_{i}}<\epsilon }
。
^ 实数中任两个数都能比较大小(有全序),而
Q
p
{\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}
上面没有全序。
^ 俞正光. 理工科代数基础. 清华大学出版社. 1998. ISBN 9787302029779 .
^ 2.0 2.1 2.2 Eric Gossett. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley & Sons(插图版). 2009. ISBN 9780470457931 (英语) . ,附录A3
^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Gerald J. Janusz. Algebraic Number Fields 2nd. American Mathematical Soc. 1996. ISBN 9780821872437 (英语) .
^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Koblitz, Neal. P-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions 2nd. Springer. 1996. ISBN 0-387-96017-1 (英语) .
^ 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 Fernando Q. Gouvêa. p-adic Numbers : An Introduction 2nd. Springer. 2000. ISBN 3-540-62911-4 (英语) .
^ 6.00 6.01 6.02 6.03 6.04 6.05 6.06 6.07 6.08 6.09 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17 Pierre Colmez. Éléments d'analyse et d'algèbre. Paris: Édition École Polytechnique. 2011. ISBN 978-2-7302-1587-9 (法语) .
^ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 Frédérique Oggier. Algebraic Number Theory - Lecture Notes - Chapter 5: p-adic numbers (PDF) . Nanyang Technology University. [2014-04-28 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2016-03-05) (英语) .
^ 8.00 8.01 8.02 8.03 8.04 8.05 8.06 8.07 8.08 8.09 8.10 David Lubicz. An introduction to the algorithmic of p-adic numbers (PDF) . Universté de Rennes, France. [2014-04-28 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2014-04-29) (英语) .
^ 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 Robert, Alain M. A Course in p-adic Analysis . Springer. 2000. ISBN 0-387-98669-3 (英语) .
^ 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 U. A. Rozikov. What are p-Adic Numbers? What are They Used for? (PDF) . Asia Pacific Mathematics Newsletter. 2013年10月, 3 (4) [2014-05-17 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2014-05-17) (英语) .
^ 11.0 11.1 Jorn Steuding. The world of p-adic numbers and p-adic functions (PDF) . Proc. Sci. Seminar Faculty of Physics and Mathematics, Siauliai University. 2002, (5): 90–107 [2014-05-19 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2014-05-20) (英语) .
^ Stany De Smedt, Andrew Khrennikov. A p-adic behaviour of dynamical systems (PDF) . Revista Mathematica Complutense. 1999, 12 (2): 301–323 [2014-05-17 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2014-05-17) (英语) .
^ Vladimir Anashin, Andrei Khrennikov. Applied Algebraic Dynamics. Walter de Gruyter. 2009. ISBN 9783110203011 (英语) . ,前言XV.