本条目中,向量标量分別用粗體斜體顯示。例如,位置向量通常用 表示;而其大小則用 來表示。四維矢量用加有標號的斜體顯示。例如,。為了避免歧意,四維矢量的斜體與標號之間不會有括號。例如,表示平方;而的第二個分量。

電磁學裏,平面電磁波四維頻率 以公式定義為

其中, 是電磁波的頻率 是朝著電磁波傳播方向的單位矢量

四維頻率與自己的內積永遠等於零:

類似地,四維角頻率 以公式定義為

其中, 是電磁波的角頻率

顯然地,

四維波向量 與四維角頻率有密切的關係,定義為

其中, 是電磁波的波向量

在本篇文章裏,閔可夫斯基度規的形式被規定為 ,這是参考了約翰·傑克森John D. Jackson)的著作《經典電動力學》中所採用的形式;並且使用了經典的張量代数以及愛因斯坦求和約定

勞侖茲變換

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給予兩個慣性參考系    ;相對於參考系   ,參考系   以速度   移動。對於這兩個參考系,相關的勞侖茲變換矩陣  [1]

 

其中, 勞侖茲因子 貝他因子    分別是參考系   對於參考系   的 x-軸、y-軸、z-軸方向的相對速度     的貝他因子。

設定一個朝著   方向傳播於真空的平面電磁波,對於參考系   ,這平面電磁波以公式表達為

 
 

其中,   分別是電磁波的電場磁場   分別是其波幅  是四維波向量, 四維位置  是位置,   分別垂直於   ,而且  

那麼,對於參考系   ,這平面電磁波以公式表達為

 
 

四維波向量    之間的關係為

 

經過一番運算,可以求得

 

其中,  是參考系   相對於參考系  四維速度  是參考系   相對於參考系   的速度。

在真空裏,四維頻率與四維波向量之間的關係為

 

所以,

 

這也是參考系   的觀察者所觀察到的頻率。

參閱

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參考文獻

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  1. ^ Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 543–548, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1