在電磁學 裏,有兩種偶極子 (英语 :Dipole):
電偶極子 是兩個分隔一段距離,電量 相等,正負相反的電荷 。
磁偶極子 是一圈封閉循環的電流 。例如一個有常定電流 運行的線圈。地球磁場 可以近似為一個磁偶極子的磁場。但是,圖內的 N 和 S 符號分別標示地球的地理北極 和地理南極 。這標示法很容易引起困惑。實際而言,地球的磁偶極矩的方向,是從地球位於地理北極附近的地磁北極 ,指向位於地理南極附近的地磁南極 ;而磁偶極子的方向則是從指南極 指向指北極 。
電極偶子的等值線圖。等值曲面清楚地區分於圖內。
偶極子的性質可以用它的偶極矩 描述。
電偶極矩(
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
)由負電荷指向正電荷,大小等於正電荷量乘以正負電荷之間的距離。磁偶極矩(
m
{\displaystyle \mathbf {m} }
)的方向,根據右手法則 ,是大拇指從載流迴路的平面指出的方向,而其它手指則指向電流運行方向,磁偶極矩的大小等於電流乘以線圈面積。
除了載流迴路以外,電子 和許多基本粒子 都擁有磁偶極矩。它們都會產生磁場 ,與一個非常小的載流迴路產生的磁場完全相同。但是,現時大多數的科學觀點認為這個磁偶極矩是電子的自然性質,而非由載流迴路生成。
永久磁鐵 的磁偶極矩來自於電子內稟的磁偶極矩。長條形的永久磁鐵稱為條形磁鐵,其兩端稱為指北極 和指南極 ,其磁偶極矩的方向是由指南極朝向指北極。這常規與地球的磁偶極矩恰巧相反:地球的磁偶極矩的方向是從地球的地磁北極 指向地磁南極 。地磁北極位於北極 附近,實際上是指南極,會吸引磁鐵的指北極;而地磁南極位於南極 附近,實際上是指北極,會吸引磁鐵的指南極。羅盤磁針的指北極會指向地磁北極;條形磁鐵可以當作羅盤 使用,條形磁鐵的指北極會指向地磁北極。
根據當前的觀察結果,磁偶極子產生的機制只有兩種,載流迴路和量子力學 自旋 。科學家從未在實驗裏找到任何磁單極子 存在的證據。
很多分子 都擁有電偶極矩。這是因為正負電荷的不均勻分佈。例如,
(正價) H-Cl (負價)
擁有永久電偶極矩的分子稱為極化分子 。假若一個分子帶有感應電偶極子,則稱此分子被極化 。彼得·德拜 是最先研究分子的電偶極子的物理化學家。為了紀念他的貢獻,電偶極矩的測量單位被命名為德拜 。
分子的電偶極子又分為以下三種(參閱分子間作用力 ):
永久電偶極子 :假若一個分子內的幾個原子的電荷分布不均,電負性 差異很大,则電負性較大的原子會吸引電子更接近自己,因而使得所佔據區域變得更具負性;另外電負性較小的原子的區域會變得更具正性。這樣,正、負電荷中心始終不重合,就形成了永久電偶極子。
瞬時電偶極子 :有時候,電子會恰巧地比較集中於分子內的某一個區域,這偶發狀況會產生暫時的電偶極子。
感應電偶極子 :當施加外電場於一個分子時,感應這外電場的作用,分子內部正常的電子雲 形狀會被改變,因而產生電偶極子。其伴隨的電偶極矩等於外電場和極化性 的乘積。
常見的化學化合物在氣態的電偶極矩,採用德拜 單位:[ 1]
這些數值可從相對電容率 的測量值計算求得。當分子因為對稱性而使得浄電偶極矩被抵消,則設定電偶極矩為 0 。電偶極矩最大值在 10 到 11 這值域內。知道電偶極矩值,科學家可以推論分子的分子結構 。例如,數據顯示出,二氧化碳是一個線性分子;而臭氧則不是。
球坐標
(
r
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (r,\ \theta ,\ \phi )}
與直角坐標
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)}
之間的關係。
假設電偶極子
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
的位置是原點
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
,則在任意位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
,此電偶極子產生的電勢
Φ
(
r
)
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}
是
Φ
(
r
)
=
1
4
π
ϵ
0
p
⋅
r
^
r
2
{\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\,{\frac {\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}}{r^{2}}}}
;
其中,
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
是真空電容率 。
這公式的右手邊項目是任意靜電勢多極展開式 的第二個項目。假若這任意靜電勢是由純電偶極子產生,則這項目是多極展開式的唯一不消失項目。
電偶極子
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
所產生的電場
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
為
E
=
−
∇
Φ
=
1
4
π
ϵ
0
r
3
(
3
(
p
⋅
r
^
)
r
^
−
p
)
=
p
4
π
ϵ
0
r
3
(
2
cos
θ
r
^
+
sin
θ
θ
^
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} =-\nabla \Phi &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})\end{aligned}}}
;
其中,
θ
{\displaystyle \theta }
是
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
和
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
之間的夾角。
注意到這個方程式並不完全正確,這是因為電偶極子的電勢有一個奇點 在它所處的位置(原點
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
)。更仔細地推導,可以得到電場為[ 2]
E
=
−
∇
Φ
=
1
4
π
ϵ
0
r
3
(
3
(
p
⋅
r
^
)
r
^
−
p
)
−
p
3
ϵ
0
δ
3
(
r
)
=
p
4
π
ϵ
0
r
3
(
2
cos
θ
r
^
+
sin
θ
θ
^
)
−
p
3
ϵ
0
δ
3
(
r
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} =-\nabla \Phi &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\end{aligned}}}
;
其中,
δ
3
(
r
)
{\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} )}
是三維狄拉克δ函數
從計算電偶極子所產生的電場的平均值,可以得到正確答案。設定以原點
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
為圓心,半徑為
b
{\displaystyle b}
的球體
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
。電偶極子所產生於這球體的電場,其平均值為:
⟨
E
⟩
=
3
4
π
b
3
∫
V
E
d
3
r
=
3
4
π
b
3
∫
0
b
∫
0
2
π
∫
0
π
p
4
π
ϵ
0
r
3
(
2
cos
θ
r
^
+
sin
θ
θ
^
)
r
2
sin
θ
d
θ
d
ϕ
d
r
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})r^{2}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi \mathrm {d} r}
。
注意到球坐標單位向量與直角坐標單位向量之間的關係:
r
^
=
x
^
sin
θ
cos
ϕ
+
y
^
sin
θ
sin
ϕ
+
z
^
cos
θ
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}={\hat {\mathbf {x} }}\sin \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\sin \theta \sin \phi +{\hat {\mathbf {z} }}\cos \theta }
、
θ
^
=
x
^
cos
θ
cos
ϕ
+
y
^
cos
θ
sin
ϕ
−
z
^
sin
θ
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}={\hat {\mathbf {x} }}\cos \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\cos \theta \sin \phi -{\hat {\mathbf {z} }}\sin \theta }
。
將這兩個關係式代入前面積分式,可以得到
⟨
E
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle }
=
3
p
16
π
2
ϵ
0
b
3
∫
0
b
∫
0
2
π
∫
0
π
1
r
3
{\displaystyle ={\frac {3p}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}b^{3}}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{r^{3}}}}
[
3
sin
θ
cos
θ
cos
ϕ
x
^
{\displaystyle [3\sin \theta \cos \theta \cos \phi {\hat {\mathbf {x} }}}
+
3
sin
θ
cos
θ
sin
ϕ
y
^
{\displaystyle +3\sin \theta \cos \theta \sin \phi {\hat {\mathbf {y} }}}
+
(
2
cos
2
θ
−
sin
2
θ
)
z
^
]
{\displaystyle +(2\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ){\hat {\mathbf {z} }}]}
r
2
sin
θ
d
θ
d
ϕ
d
r
{\displaystyle r^{2}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi \mathrm {d} r}
。
注意到這積分式的x-分量與y-分量都等於零,只剩下z-分量:
⟨
E
⟩
=
3
p
16
π
2
ϵ
0
b
3
∫
0
b
∫
0
2
π
∫
0
π
1
r
(
2
cos
2
θ
−
sin
2
θ
)
z
^
sin
θ
d
θ
d
ϕ
d
r
=
3
p
z
^
8
π
ϵ
0
b
3
∫
0
b
1
r
d
r
∫
0
π
(
2
sin
θ
cos
2
θ
−
sin
3
θ
)
d
θ
{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {E} \rangle &={\frac {3p}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}b^{3}}}\int _{0}^{b}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {1}{r}}(2\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ){\hat {\mathbf {z} }}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi \mathrm {d} r\\&={\frac {3p{\hat {\mathbf {z} }}}{8\pi \epsilon _{0}b^{3}}}\int _{0}^{b}{\frac {1}{r}}\ \mathrm {d} r\int _{0}^{\pi }(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ \mathrm {d} \theta \end{aligned}}}
。
對於徑向坐標
r
{\displaystyle r}
積分會得到
∫
0
b
1
r
d
r
=
−
∞
{\displaystyle \int _{0}^{b}{\frac {1}{r}}\ \mathrm {d} r=-\infty }
!
但對於天頂角
θ
{\displaystyle \theta }
積分則會得到
∫
0
π
(
2
sin
θ
cos
2
θ
−
sin
3
θ
)
d
θ
=
∫
0
π
(
2
sin
θ
cos
2
θ
−
sin
3
θ
)
d
θ
=
0
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ \mathrm {d} \theta =\int _{0}^{\pi }(2\sin \theta \cos ^{2}\theta -\sin ^{3}\theta )\ \mathrm {d} \theta =0}
!
由此可知,從這運算無法得到
⟨
E
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle }
的正確值。這是因為電偶極子的電勢有一個奇點 在它所處的位置(原點
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
),電場的方程式並不完全正確。必須特別小心地計算,才能得到正確答案。應用向量恆等式
∮
S
ψ
d
S
=
∫
V
∇
ψ
d
V
{\displaystyle \oint _{\mathbb {S} }\psi \ \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{\mathbb {V} }\nabla \psi \ \mathrm {d} V}
,則作用於這球體
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
的電場,其平均值為:
⟨
E
⟩
=
3
4
π
b
3
∫
V
E
d
3
r
=
−
3
4
π
b
3
∫
V
∇
ϕ
d
3
r
=
−
3
4
π
b
3
∮
S
ϕ
d
S
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle ={\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} \ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =-\ {\frac {3}{4\pi b^{3}}}\int _{\mathbb {V} }\nabla \phi \ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =-\ {\frac {3}{4\pi b^{3}}}\oint _{\mathbb {S} }\phi \ \mathrm {d} \mathbf {S} }
;
其中,
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
是球體
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
的表面。
將電勢
ϕ
{\displaystyle \phi }
的方程式代入,注意到
d
S
=
r
^
b
2
sin
θ
d
θ
d
ϕ
{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} ={\hat {\mathbf {r} }}\ b^{2}\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi }
,則可得到
⟨
E
⟩
=
−
3
(
4
π
)
2
b
ϵ
0
∮
S
[
∫
V
′
ρ
(
r
′
)
|
b
r
^
−
r
′
|
d
3
r
′
]
r
^
sin
θ
d
θ
d
ϕ
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle =-\ {\frac {3}{(4\pi )^{2}b\epsilon _{0}}}\oint _{\mathbb {S} }\left[\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|b{\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\right]{\hat {\mathbf {r} }}\ \sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi }
;
其中,
ρ
(
r
′
)
{\displaystyle \rho (\mathbf {r} ')}
是在源位置
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
的電荷密度 ,
V
′
{\displaystyle \mathbb {V} '}
是源積分體積,設定與
V
{\displaystyle \mathbb {V} }
相同,
r
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
是場位置的單位向量,從表面
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
垂直往外指出。
場位置與源位置之間距離的倒數 以球諧函數
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}
作多極展開 為
1
|
b
r
^
−
r
′
|
=
∑
ℓ
=
0
∞
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
4
π
2
ℓ
+
1
r
′
ℓ
b
ℓ
+
1
Y
ℓ
m
∗
(
θ
′
,
ϕ
′
)
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
,
r
′
<
b
{\displaystyle {\frac {1}{|b{\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {r} '|}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {4\pi }{2\ell +1}}{\frac {r^{\prime \ell }}{b^{\ell +1}}}Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')Y_{\ell m}(\theta ,\phi ),\qquad r'<b}
;
其中,
b
r
^
{\displaystyle b{\hat {\mathbf {r} }}}
與
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
的球坐標 分別為
(
b
,
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle (b,\theta ,\phi )}
與
(
r
′
,
θ
′
,
ϕ
′
)
{\displaystyle (r',\theta ',\phi ')}
。
單位向量
r
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
以球諧函數表示為
r
^
=
x
^
sin
θ
cos
ϕ
+
y
^
sin
θ
sin
ϕ
+
z
^
cos
θ
=
x
^
[
−
2
π
3
(
−
Y
1
,
−
1
∗
+
Y
11
∗
)
]
+
y
^
[
−
2
π
3
(
−
Y
1
,
−
1
∗
−
Y
11
∗
)
]
+
z
^
4
π
3
Y
10
∗
{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&={\hat {\mathbf {x} }}\sin \theta \cos \phi +{\hat {\mathbf {y} }}\sin \theta \sin \phi +{\hat {\mathbf {z} }}\cos \theta \\&={\hat {\mathbf {x} }}\left[-{\sqrt {\frac {2\pi }{3}}}(-Y_{1,-1}^{*}+Y_{11}^{*})\right]+{\hat {\mathbf {y} }}\left[-{\sqrt {\frac {2\pi }{3}}}(-Y_{1,-1}^{*}-Y_{11}^{*})\right]+{\hat {\mathbf {z} }}{\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}Y_{10}^{*}\\\end{aligned}}}
。
應用球諧函數的正交歸一性
∫
0
2
π
∫
0
π
Y
ℓ
′
m
′
∗
(
θ
,
ϕ
)
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
sin
θ
d
θ
d
ϕ
=
δ
ℓ
ℓ
′
δ
m
m
′
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }Y_{\ell 'm'}^{*}(\theta ,\phi )Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\sin \theta \ \mathrm {d} \theta \mathrm {d} \phi =\delta _{\ell \ell '}\delta _{mm'}}
,
可以得到
⟨
E
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle }
與這球體的電偶極子
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
之間的關係式:
⟨
E
⟩
=
−
1
4
π
b
3
ϵ
0
∫
V
′
r
′
ρ
(
r
′
)
d
3
r
′
=
−
p
4
π
b
3
ϵ
0
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle =-\ {\frac {1}{4\pi b^{3}\epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '=-\ {\frac {\mathbf {p} }{4\pi b^{3}\epsilon _{0}}}}
。
也就是說,
∫
V
E
d
3
r
=
−
p
3
ϵ
0
{\displaystyle \int _{\mathbb {V} }\mathbf {E} \ \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =-\ {\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}}
。
為了滿足這性質,必需對於電偶極子
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
所產生的電場
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
,在其方程式內再添加一個項目:
E
=
1
4
π
ϵ
0
r
3
(
3
(
p
⋅
r
^
)
r
^
−
p
)
−
p
3
ϵ
0
δ
3
(
r
)
=
p
4
π
ϵ
0
r
3
(
2
cos
θ
r
^
+
sin
θ
θ
^
)
−
p
3
ϵ
0
δ
3
(
r
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}\left(3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} \right)-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\\&={\frac {p}{4\pi \epsilon _{0}r^{3}}}(2\cos \theta {\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}})-{\frac {\mathbf {p} }{3\epsilon _{0}}}\delta ^{3}(\mathbf {r} )\end{aligned}}}
。
這樣,在計算
⟨
E
⟩
{\displaystyle \langle \mathbf {E} \rangle }
時,就能夠得到明確無誤的答案。
試想一群粒子,數量為
N
{\displaystyle N}
,電荷量 和位置分別為
q
i
{\displaystyle q_{i}}
和
r
i
{\displaystyle \mathbf {r} _{i}}
,
i
=
1
,
2
,
…
,
N
{\displaystyle i=1,\,2,\,\dots ,\,N}
。例如,這個群集可能是一個分子,由電荷量為
−
e
{\displaystyle -e}
的電子,和電荷量為
e
Z
j
{\displaystyle eZ_{j}}
的原子核 所構成;其中,
Z
j
{\displaystyle Z_{j}}
是第
j
{\displaystyle j}
個原子核的原子序 。這個群集的電偶極子的量子算符
p
{\displaystyle {\mathfrak {p}}}
是
p
=
∑
i
=
1
N
q
i
r
i
{\displaystyle {\mathfrak {p}}=\sum _{i=1}^{N}\,q_{i}\,\mathbf {r} _{i}}
。
^ Weast, Robert C. CRC Handbook of Chemistry and Physics 65rd ed. CRC Press. 1984. ISBN 0-8493-0465-2 .
^ 2.0 2.1 Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 107–111145–150, 184–188, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1
^ Griffiths, David J., Hyperfine splitting in the ground state of hydrogen (PDF) , American Journal of Physics, August 1982, 50 (8): pp. 698 [2010-10-23 ] , (原始内容存档 (PDF) 于2020-05-12)