餘調

(重定向自上同调

同調論代數餘鏈中,餘調表示由與拓樸空間相關的阿貝爾群組成的序列,經常由餘鏈復形定義。餘調可以被視為給予空間(比同調)更豐富的代數不變量的方式。某些餘調是將同調的建構對偶化產生的。換言之,餘鏈是同調論中鏈群上的函數。 這個概念一開始是在拓撲學中,到20世紀後半變成數學的一個主要方法。從原先將同調作為建構拓樸空間的代數不變量的方法,現今同調與餘調理論的應用已遍布幾何與代數。餘調是個反變的理論,而在很多應用中比同調更自然,但術語使上述事實變得不明顯。基礎地看,這與幾何的情況中的函數與拉回有關:給定空間 X、Y 、 Y 上的某種函數 F ,對任何映射 f : X → Y ,與 f 的複合會產生在 X 上的函數 F ∘ f 。最重要的一些餘調論有一種積,稱為杯積,使其具有的結構。所以,餘調常是比同調更強的不變量。

广义上的同调理论(其他代数或几何结构的不变式,而不是拓扑空间的不变式)包括:代数K理论,李代数同调,晶体同调等。

奇异上同调

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奇异上同调是拓扑学中一个强大的不变量,将分次交换环同任意拓扑空间联系起来。每个连续映射 都决定了从Y的上同调环到X的上同调环的同态,这对XY的可能映射施加了强有力的限制。上同调环不同于同伦群等更微妙的不变式,对于感兴趣的空间来说,实际上往往是可以计算的。

对拓扑空间X,奇异上同调的定义始于奇异链复形:[1]:108   由定义,X奇异同调是这链复形的同调(一个同态的核对前一个的像取模)。更详细地说, 是从标准i单纯形到X(称作“X中的奇异i单形(simplice)”)的连续映射集的自由阿贝尔群 是第i个边界同态。i为负数时,群 为零。

现固定一个阿贝尔群A,把每个群Ci换成其对偶群 ;把 换成对偶同态  

这会把原复形的“所有箭头都逆转”,留下上链复形  

对任意整数iX的第i个系数在A中的上同调群定义为 记作 i为负数时,群为零。 的元素称作奇异i上链,系数在A中。(等价地,X上的i上链可从X中到A的奇异i单形集函数中辨别出来)ker(d)、im(d)中的元素分别称作上循环上边界(coboundary), 的元素则称作上同调类(因为是上循环的等价类)。

下文时而省略系数群A不写。通常取A交换环R,则上同调群为R。标准的选择是整数环Z

上同调的一些形式性质与同调基本一致:

  • 连续映射 决定了同调上的前推同态 与上同调上的拉回同态 ,这使上同调成为从拓扑空间到阿贝尔群(或R模)的反变函子
  • XY的两个同伦映射会在上同调引起相同的同态(如在同调上)。
  • 迈尔–维托里斯正合列是同调与上同调中重要的计算工具。注意边界同态增加(而非减少)了上同调的度;即,若空间X开子集UV的交,则有长正合序列 
  • 对空间X的任意子空间Y,有相关上同调 由长正合序列与通常的上同调群相关联: 
  • 泛系数定理Ext群描述了上同调,即有短正合序列 相关的说法是,对F 正是向量空间 对偶空间
  • X是拓扑流形CW复形,则对大于X的维度的i,上同调群 为零。[2]X流形(可能有界),或是在每个维度都有有限多单元的CW复形,且R是交换诺特环,则R 对每个i都是有限生成模[3]

另一方面,上同调有同调没有的重要结构:对任意拓扑空间X与交换环R,有称作上积双线性映射  从奇异上链的明确公式定义。上同调类uv的积写作uv或只是uv,这个积使得直和   变为分次环,称作X上同调环,在如下意义上是分次交换环[4]  

对任意连续映射 拉回 是分次R代数的同态。可见,若两空间同伦等价,则它们的上同调环就同构。

下面是上积的一些几何解释。除非另有说明,否则默认流形无界。闭流形是(不含边界)紧流形,而流形M闭子流形NM闭子集的子流形,不必是紧流形(不过,若M紧,则N必紧)。

  • Xn维闭有向流形,则庞加莱对偶性给出同构 。于是,X余维度i的闭有向子流形决定了 中的上同调类,称作 在这些术语中,上积描述了子流形的相交:若ST是余维度为ij的子流形,并横截地相交,则 当中的交ST是余维度为i+j的子流形,方向由STX的方向确定。在光滑流形的情形下,若ST不横截着相交,则这公式仍可计算上积 ,方法是扰动ST使其横截相交。
    更一般地,X不需有向,其闭子流形与法丛上的方向决定了X上的一个上同调类。若X是非紧流形,则闭子流形(不需是紧的)决定了X上的上同调类。两种情形下,上积仍可用子流形之交来描述。
    注意勒内·托姆在光滑14维流形上构造了度为7的积分上同调类,不是任何光滑子流形的类。[5]:62–63另一方面,他证明了光滑流形上所有度为正的积分上同调类都有正倍数,其是光滑子流形的类。[5]:定理II.29而且,流形上的所有积分上同调类都可用“伪流形”(即单纯形,在余维度至少为2的闭子集之外是流形)表示。
  • 对光滑流形X德拉姆定理表明,具有系数的X的奇异上同调与X的德拉姆上同调同构,由微分形式定义。上积对应微分形式的积。这解释的优点在于微分形式的积是分次交换的,而奇异上链的积只在链同伦意义上分次交换。事实上,对系数在整数  p为使积在鼻上分次交换的素数)中的奇异上链,无法修改其定义。上链层面上分次交换性失效,导致了模p上同调上的斯廷罗德运算

非常不正式地说,对任意拓扑空间X 的元素都可认为是可在X上自由移动的余维度为i的子空间。举例来说,定义元素的一种方法是给出从X到流形M的连续映射f,以及M的余维度为i的闭子流形N,且在法丛上有向。形式上说,可将结果类 视为位于X的子空间 上;这是合理的,因为类 在开子集 的上同调中限制为零。上同调类 可在X上自由移动,即N可被MN的任意连续变形所代替。

例子

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下面默认上同调系数为整数。

  • 点的上同调环是度为0的环Z。根据同伦不变性,这也是任何可紧空间的上同调环,如欧氏空间Rn
  •  
    2维环面的第一上同调群的基由所示两个圆的类给出。
    对正整数nN维球面 的上同调环是 多项式环对给定理想商环),x的度为n。根据上述庞加莱对偶性,x是球面上一点的类。
  • 环面 的上同调环是度为1的n个生成器上的Z外代数[6]例如,令P表示圆 中的点,Q为2维环面 中的点(P,P)。则, 的上同调有如下形式的自由Z基:度为0的元素1、度为1的  、度为2的 (此处隐含地固定了环面和两个圆的方向)注意由分次交换性可知, 
  • 更一般地,令R为交换环、令XY为使 为所有度都是有限生成自由R模的任意拓扑空间(Y不需要假设)。则据克奈定理积空间 的上同调环是R代数的张量积:[1]:定理3.15  
  • 实射影空间 的上同调环(系数位于 )是 x的度为1。[1]:定理3.19当中x 中的超平面 的类,即使 j为正偶数)无向也成立,因为 系数的庞加莱对偶性适于任意流形。
    若系数是整数,就比较复杂了。 Z上同调具有度为2的元素y,使整个上同调是度为0的元素1张成的Z 张成的Z/2的直和。 Z上同调也如此,只是多了一份度为2a+1的Z[1]:22
  • 复射影空间 的上同调环是 ,其中x的度为2。[1]:定理3.19x 中超平面 的类;更一般地说,  中线性子空间 的类。
  • 亏格g ≥ 0的闭有向面X的上同调环有如下形式的自由Z模的基:度为0的元素1、度为1的  、度为2的点的类P。积由下面的定义给出: [7]由分次交换性,可知有BiAi = −P
  • 在任意拓扑空间上,上同调环的分次交换性都表明,对任意度为奇的上同调类x都有 因此,对包含1/2的环R 中所有度为奇的元素的平方都是零。另一方面,若R  ,则度为奇的元素不必有平方零,正如例子 (系数 )或 (系数 )。

对角

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上积可视作来自对角映射 也就是说,对于具有上同调类 的任意空间XY,有外积(或叉积)上同调类  的上积可定义为外积的对角线拉回:[1]:186  

另外,外积也可用上积定义。对空间XY,将两投影分别写作 ,则 两类的外积就是  

庞加莱对偶性

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庞加莱对偶性的另一种解释是,闭有向流形的上同调环在强意义上是自对偶的。也就是说,令Xn维闭有向流形,F为域。则 同构于F,积

 

对每个整数i完美配对[8]特别地,向量空间 具有相同的(有限)维度。同样,积分上同调模、在 中取值的积是Z上的完美配对。

示性类

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拓扑空间X上秩为r的有向实向量丛E决定了X上的上同调类,即欧拉类 χ。非正式地说,欧拉类是E的一般截面的零集类。E若是光滑流形X上的光滑向量丛E,这种解释会更明确,因为此时X的一般光滑截面会在Xr余维子流形上归于零。

在上同调取值的向量丛还有其他几种示性类,如陈类施蒂费尔–惠特尼类庞特里亚金类等。

艾伦伯格–麦克兰恩空间

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对任意阿贝尔群A与自然数j,有空间 ,其第j个同伦群同构于A,其他同伦群均为零。这样的空间叫做艾伦伯格–麦克兰恩空间,对上同调是分类空间:有 的自然元素u,每个空间X上每个度为j的上同调类都是u对某连续映射 的拉回。更确切地说,类u的拉回对每个具有CW复形上同调类型的空间X给出了双射[9]:177

 

当中 表示XY的连续映射的同伦类集合。

例如,空间 (同伦等价意义上)可看作是圆 ,所以上面的描述说, 的每个元素都是通过某映射  是哪个一点的类u拉回的。

对系数在任意阿贝尔群A(如CW复形X)中的第一上同调,都有相关的描述: 与具有群AX的伽罗瓦覆叠空间的同构类集(也称为X上的A)一一对应。对连通的X 同构于 ,曲线 X基本群。例如, 分类了X的双覆叠空间,元素 对应平凡双覆叠,即两个X的不交并。

下积

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对任意拓扑空间X、任意整数ij、任意交换环R下积是双线性映射

 

得到映射

 

使X的奇异上同调成为X的奇异上同调环上的模。

 时,下积给出了自然同态

 

其是R域的同构。

例如,令X是有向流形,不必是紧的。则其余维为i的闭有向子流形Y(不必紧)确定了 中的一个元素,X的紧有向j维子流形Z确定了 中的一个元素。下积 可通过扰动YZ使其横截相交,再取交集的类(即j-i维紧有向子流形)进行计算。

n维闭有向子流形X 中具有基本类 。庞加莱对偶同构   可通过与X的基本类的下积定义。

奇异上同调简史

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上同调是现代代数拓扑的基础,但在同调论发展了40余年后,人们才意识到其重要性。亨利·庞加莱证明庞加莱对偶定理用的“对偶单元结构”概念即是上同调思想的雏形,但后来才被发现。

 

这与M的上同调的上积很相似。

层上同调

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层上同调是奇异上同调的丰富推广,允许更一般的系数,而不限于阿贝尔群。对拓扑空间X上任意的阿贝尔群,有上同调群 i为整数)。特别地,X上的常层与阿贝尔群A相关联的情形下,所得的群 X的奇异上同调(流形或CW复形)重合(并非对任意X都成立)。20世纪50年代开始,层上同调成为了代数几何复分析的核心部分,部分原因是正则函数层或全纯函数层的重要性。

亚历山大·格罗滕迪克同调代数优雅地定义、描述了层上同调。其要点在于固定空间X,并将层上同调视作从X上的阿贝尔范畴层到阿贝尔群的函子。首先,取从X上的层E到其在X上的非局部截面的阿贝尔群的函子,即E(X),它是左正合函子,而不必右正合。格罗滕迪克定义层上同调群为左正合函子 的右导出函子[11]

这定义可以有很多推广。例如,可定义拓扑空间X的上同调,其系数可以在层的任意复形中,早先称作超上同调(现在则只叫做“上同调”)。从这角度来看,层上同调成了从X上的层导出范畴到阿贝尔群的函子序列。

更广义地讲,“上同调”常用作阿贝尔范畴上的左正合函子的右导出函子,而“同调”则是右正合函子的左导出函子。例如,对于环RTor群 在每个簇形成“同调”,即R模的张量积 的左导出函子。同样,Ext群 可视作是每个簇中的“上同调”,c即Hom函子 的右导出函子。

层上同调与一种Ext群相关:对拓扑空间X上的层E 同构于 ,当中 表示与整数Z相关联的常层,Ext取X上的层的阿贝尔范畴。

簇的上同调

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有很多构造可计算代数簇的上同调。最简单的情形是确定 特征域上光滑射影簇的上同调。霍奇理论有叫做霍奇结构的工具,有助于计算这些簇类的上同调(增加了更精细的信息)。最简单的情形下, 中的光滑超平面的上同调可仅根据多项式的度确定。

考虑有限或特征为 的域上的簇,需要更有力的工具,因为同调/上同调的经典定义被打破了:有限域上的簇只能是有限点集。格罗滕迪克提出了运用格罗滕迪克拓扑的想法,并用平展拓扑上的层上同调定义有限域上的簇的上同调论。利用特征 域上的簇的平展拓扑,可构造 进上同调( ):

 

若有有限类型的概形

 

则只要簇在两个域上都光滑, 的贝蒂上同调和  进上同调的维度就相等。此外,还有韦尔上同调论,与奇异上同调的行为类似。有一种猜想,其理论动机是所有韦尔上同调论的基础。

另一个有用的计算工具是爆破序列(blowup sequence)。给定余维度 的子概形 ,有笛卡儿平方

 

由此,有相关的长正合序列

 

若子簇 光滑,则连通态射均平凡,因此

 

此外,利用法丛 的陈类,爆破的上同调环很容易计算,公式为

 

公理与广义上同调论

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拓扑空间的上同调有多种定义(如奇异上同调、切赫上同调亚历山大–斯潘尼尔上同调层上同调)(此处层上同调只考虑系数在常层中)。这些理论对某些空间给出了不同结果,但对一大类空间都是一致的,这从公理上最容易理解:有一系列属性称作艾伦伯格-斯廷罗德公理,任意两个满足其的构造至少在所有CW复形上都一致。[9]:95同调论和上同调论都有公理版本。有些理论可作为计算特殊拓扑空间的奇异上同调的工具,如单纯复形的单纯上同调、CW复形的胞腔上同调、光滑流形的德拉姆上同调

上同调论的艾伦伯格-斯廷罗德公理之一是维度公理:若P是单点,则 1960年左右,George W. Whitehead发现,完全省略维度公理很有意义:这就产生了广义(上)同调论(定义如下)。K理论或复配边之类的广义上同调论,提供了拓扑空间的丰富信息,且是奇异上同调无法直接提供的(这时,奇异上同调通常叫做“普通上同调”)。

由定义,广义同调论是从CW-拓扑对范畴 (于是X是CW复形,A是子复形)到阿贝尔群范畴的函子序列 i是整数),以及自然变换 ,称作边界同态(其中  的简写)。公理如下:

  1. 同伦:若 同伦于 ,则同调上的诱导同态相同。
  2. 正合性:由结论f: AXg: (X,∅) → (X,A),每对(X,A)都在同调上诱导了长正合序列: 
  3. 切除:若X是子复形AB的并,则对每个i,包含 会诱导同构 
  4. 可加性:若(X,A)是一组对 的不交并,则对每个i,包含 会诱导从直积出发的同构: 

广义上同调论的公理大致是通过翻转箭头得到的。更详细地说,广义上同调论是一系列从CW-拓扑对范畴到阿贝尔群范畴的反变函子序列 i是整数),及自然变换d: hi(A) → hi+1(X,A),称作边界同态 (其中 表示 。公理如下:

  1. 同伦:同伦映射在上同调诱导相同的同态。
  2. 正合性:由结论f: AXg: (X,∅) → (X,A),每对(X,A)都在上同调上诱导了长正合序列: 
  3. 切除:若X是子复形AB的并,则对每个i,包含 会诱导同构 
  4. 可加性:若(X,A)是一组对 的不交并,则对每个i,包含 会诱导到达积群的同构: 

决定了广义(上)同调论。Brown、Whitehead、Adams得到的一个基本结果是:所有广义同调论都来自一个谱,所有广义上同调论也来自一个谱。[12]这推广了艾伦伯格–麦克兰恩空间对普通上同调的可表性。

一个微妙问题是,从稳定同调范畴(谱的同伦范畴)到CW-拓扑对上的广义同调论的函子,虽然给出了同构类上的双射,但是不等价;在稳定同伦范畴中,有非零映射(即幻影映射英语phantom map),其诱导了CW-拓扑对上同伦论间的零映射。同样,从稳定同伦范畴到XW-拓扑对上的广义上同调论的函子也不等价。[13]正是稳定同伦范畴具有三角化之类良好性质。

要将(上)同调论的定义域从CW复形推广到任意拓扑空间,一种标准方法是加入公理:所有弱同伦等价都会在(上)同调诱导一个同构(对奇异(上)同调是正确的,但层上同调等则不然)。由于每个空间都可从CW复形得到弱同伦等价,这公理将所有空间的(上)同调论还原为CW复形的相应理论。[14]

广义上同调论的一些例子:

  • 稳定上同伦群 相应的同调论更常用:稳定同伦群 
  • 各种配边群,从空间到流形的所有映射的角度研究空间:无向配边 有向配边 复配边 等等。复配边在同伦论中尤为强大,经由丹尼尔·奎伦的定理,同形式群密切相关。
  • 拓扑K理论的各种形式,从空间上所有向量丛的角度研究空间: (实周期K理论)、 (实连通K理论)、 (复周期K理论)、 (复连通K理论),等等。
  • 布朗-彼得森上同调莫拉瓦K理论、莫拉瓦E理论等等由复配边建立的理论。
  • 各种椭圆上同调

其中许多理论比普通上同调的信息更丰富,但更难计算。

上同调论E若满足 对每个空间X都具有分次环的结构,则称E具有乘性。用谱的语言来说,有几个更精确的环谱概念,如E环谱,其中的积在很强的意义上是交换、结合的。

另见

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脚注

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Hatcher 2001.
  2. ^ Hatcher 2001,Theorem 3.5; Dold 1972,Proposition VIII.3.3 and Corollary VIII.3.4.
  3. ^ Dold 1972,Propositions IV.8.12 and V.4.11.
  4. ^ Hatcher 2001,Theorem 3.11.
  5. ^ 5.0 5.1 Thom 1954.
  6. ^ Hatcher 2001,Example 3.16.
  7. ^ Hatcher 2001,Example 3.7.
  8. ^ Hatcher 2001,Proposition 3.38.
  9. ^ 9.0 9.1 May 1999.
  10. ^ Dieudonné 1989,Section IV.3.
  11. ^ Hartshorne 1977,Section III.2.
  12. ^ Switzer 1975,第117, 331頁,Theorem 9.27; Corollary 14.36; Remarks.
  13. ^ Are spectra really the same as cohomology theories?. MathOverflow. 
  14. ^ Switzer 1975,7.68.

参考文献

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