Talk:域 (数学)
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定义
编辑- F是一个集合
- 二元操作符可用任何符号做标记。视应用而定。比如当F的元素为集合Ω的子集时，一般记为'∩'和' '，更一般的把它们记为+和.（这就是原因叫作加跟乘）。
域（F,两个二元操作符）满足下列性质：
- 1. F对两个操作封闭。
- 2. 一个操作（.或∩）对另一个操作(+或)符合分配律。
- 3. 两个操作都符合结合率。(a+b)+c=a+(b+c) (a.b).c=a.(b.c)
- 4. 两个操作都符合交换率。a+b=b+a a.b=b.a
- 5. 两个操作都存在标识元。a+0=a ( ø=a) a.1=a (a∩Ω)=a
- 6. 两个操作都存在逆元。a+(-a)=0 (a a'=Ω) a.a^(-1)=1 (a∩a')=ø
最好将环，半环，群，半群等都列在一起。 A group (F,one operator) satisfies the following property:
- F is closed for the operation.
- The operation is associative.
- Identity for the operation is included.
- Inverses for the operation is included.
A semigroup doesn't require the identity and inverses.
环（F,两个二元操作符）满足下列性质(环比域要定义的松一些)：
- 1. F对两个操作封闭。
- 2. 一个操作（.或∩）对另一个操作(+或 )符合分配律。
- 3. 两个操作都符合结合率。
- 4. 一个操作都符合交换率。
- 5. 可交换操作都存在标识元和逆元。
- 6. 另一个操作都存在标识元。
A semiring doesn't require the inverses for the commutative operation included in F.
A ring becomes a field when two operations are commutative and have inverses included.
A field is a ring, a ring is a semiring, a semiring is a group.
仅供参考。Jackzhp 23:26 2006年9月4日 (UTC)
一些补充信息
编辑Ω集合，2^Ω (或记为P(Ω))的子集S是semi-algebra半代数，如果
- 1. 空集和Ω属于S。
- 2. 对有限交封闭。
- 3. 如A属于S，A的补=UBi, Bi属于S, Bi∩Bj=空
S是algebra代数/field域，如果
- 1. 空集和Ω属于S。
- 2. 对有限并封闭。
- 3. 对补封闭。
由2和3，可以推出对有限交封闭。
S是σ-algebraσ代数/σfieldσ域，如果
- 1. 空集和Ω属于S。
- 2. 对可数并封闭。
- 3. 对补封闭。
当域对可数并封闭，这个域就是一个σ域。 将半代数中互不相交的元素进行有限并将形成一个代数。你可以尝试将证明贴在下面。Jackzhp 16:36 2006年9月8日 (UTC)