包立方程式

本條目中，向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如，位置向量通常用

\mathbf {r} \,\!

表示；而其大小則用

r\,\!

來表示。

包立方程式或稱薛丁格-包立方程式，為描述帶有自旋1/2的粒子在與電磁場交互作用下的修正方程式（自旋1/2粒子例如電子）。在此之前，用以描述粒子行為的薛丁格方程式則未考慮到粒子自旋的性質。其為狄拉克方程式在非相對論極限下的特例，應用在粒子速度慢到相對論效應可以忽略的場合。

包立方程式是由沃爾夫岡·包立於1927年所建構。

方程式

一自旋粒子具有質量m、電荷q，於外加電磁場中運動；外加電磁場可以純量勢ϕ、向量勢A = (A_x, A_y, A_z)來描述。包立方程式可描述外加電磁場與自旋交互作用的影響：

包立方程式 （廣義形式）

$\left[{\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle$

其中

\mathbf {p}

為動量算符（p = −iħ∇，∇為梯度算符），

{\vec {\sigma }}

為包立矩陣，

|\psi \rangle :={\begin{pmatrix}|\psi _{+}\rangle \\|\psi _{-}\rangle \end{pmatrix}}

為包立旋量。

兩個旋量分量都滿足薛丁格方程式

{\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle

，

這表示系統是有額外但簡併的的自由度。

另可看出包立方程式的哈密頓算符為：

{\hat {H}}={\frac {1}{2m}}({\boldsymbol {\sigma }}\cdot (\mathbf {p} -q\mathbf {A} ))^{2}+q\phi

因包立矩陣的存在，此哈密頓算符為2 × 2矩陣算符。包立方程式的哈密頓算符形似於帶電粒子在電磁場中的古典哈密頓算符，但後者沒有考慮到自旋。

包立矩陣可以從動能項中移出，只要使用包立矩陣的關係式：

({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {a} )({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +i{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right)

將p = −iħ∇代入，可得到^[1]

{\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left[\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)^{2}-q\hbar {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \right]+q\phi

其中B = ∇ × A，即磁場。

與斯特恩-革拉赫實驗的關係

包立方程式可分拆為兩項：

包立方程式 （磁場B）

$\underbrace {i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi _{\pm }\rangle =\left({\frac {(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )^{2}}{2m}}+q\phi \right){\hat {1}}|\psi _{\pm }\rangle } _{\mathrm {Schr{\ddot {o}}dinger~equation} }-\underbrace {{\frac {q\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} |\psi _{\pm }\rangle } _{\text{Stern-Gerlach term}}$