克拉莫-克若尼關係式

克喇末-克勒尼希關係式（英語：Kramers–Kronig relations）是數學上連結複面上半可析函數實部和虛部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函數。物理上因果關係（系統反應必須在施力之後）意味着反應函數必須符合複面上半的可析性。反之，反應函數的可析性意味着相應物理系統的因果性。此關係式以拉爾夫·克勒尼希和漢斯·克喇末為名。

公式定義

給定一複數變數$\omega$的複值函數${\chi (\omega )}=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$，其中$\chi _{1}$和$\chi _{2}$是實值函數。假設此函數$\chi (\omega )$在複數平面上半部可析，且當$|\omega |$趨向無限大時，它在上半平面趨於零的速度比$1/|\omega |$快或與之相等，那麼$\chi (\omega )$滿足以下關係：

$\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{2}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '$

和

$\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi _{1}(\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega ',$

其中${\mathcal {P}}$表示柯西主值。因此可析函數的實部和虛部並不獨立：函數的一部分可以重建整個函數。

推導

推導克喇末-克勒尼希關係式是留數定理的基本應用。對任何複面上半可析函數$\chi (\omega ^{\prime })$和實數$\omega$函數${\frac {\chi (\omega ^{\prime })}{\omega ^{\prime }-\omega }}$在複面上半可析。留數定理得到對任何在複面上半的積分路徑：

克拉默斯-克朗尼希關係的積分路徑。

$\oint {\frac {\chi (\omega ^{\prime })}{\omega ^{\prime }-\omega }}d\omega ^{\prime }=0$

選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上極點、再以複面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和$|\omega |$成正比，因此只要$\chi (\omega ^{\prime })$消失比${1}/{\omega ^{\prime }}$快，對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過極點的小半圓：

$\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega )=0.$

以上第二項留數定理的結果。重組後得到克喇末-克勒尼希關係式：

$\chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.$

分母裏的虛數$i$意味者這是連系實部和虛部的公式。把$\chi (\omega )$分解成實部和虛部可輕易得到更早的公式。

物理理解

可以將Kramers-Kronig關係應用於響應函數理論。物理上，響應函數$\chi (t-t^{\prime })$概括系統對在時間$t^{\prime }$的作用力$F(t^{\prime })$在另一時間$t$的反應$P(t)$：

$P(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t-t^{\prime })F(t^{\prime })dt^{\prime }$

因為系統不能在施力前有任何反應因此當$t^{\prime }>t$，$\chi (t-t^{\prime })=0$。 可以證明這因果關係意味着$\chi (\tau )$的傅立葉變換$\chi (\omega )$在$\omega$複面上半可析。另外如果我們施加系統一個遠高於它最高共振頻率的高頻作用力，此時作用力轉換太快而系統不能即時做出反應，因此$\omega$很大時，$\chi (\omega )$會趨近於0。從這些物理考量，可知物理反應函數$\chi (\omega )$通常符合克喇末-克勒尼希關係式的前提條件。

反應函數$\chi (\omega )$的虛部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希關係，我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相（不做功）反應，反之亦然。

上述函數的積分路徑是從$-\infty$到$\infty$，其中出現了負頻率。幸運的是，多數系統中，正頻響應決定了負頻響應，這是因為$\chi (\omega )$是實數變量$\chi (t-t')$的傅里葉變換，根據對實數進行傅里葉變換的性質，$\chi (-\omega )=\chi ^{*}(\omega )$，$\chi _{1}(\omega )$是頻率$\omega$的偶函數，而$\chi _{2}(\omega )$是$\omega$的奇函數。

根據該性質，積分可以從正負無窮區間約化為$[0,\infty )$的區間上。考慮實部$\chi _{1}(\omega )$的第一個關係，積分函數上下同乘$\omega '+\omega$可得：

$\chi _{1}(\omega )={\frac {1}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\omega '\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '+{\frac {\omega }{\pi }}{\mathcal {P}}{\mathcal {\int }}_{-\infty }^{\infty }{\frac {\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.$

由於$\chi _{2}(\omega )$為奇函數，第二項為零，剩下的部分為

$\chi _{1}(\omega )={\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega '\chi _{2}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.$

類似的推導亦可用於虛部：

$\chi _{2}(\omega )=-{\frac {2}{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega \chi _{1}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '=-{\frac {2\omega }{\pi }}{\mathcal {P}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\chi _{1}(\omega ')}{\omega '^{2}-\omega ^{2}}}d\omega '.$

該 Kramers-Kronig 關係在物理響應函數上的很有用處。