方向導數

方向導數是分析學特別是多元微積分中的概念。一個標量場在某點沿着某個向量方向上的方向導數，描繪了該點附近標量場沿着該向量方向變動時的瞬時變化率。方向導數是偏導數的概念的推廣，也是加托導數的一個特例。

定義

$f:U\mapsto \mathbb {R}$， 是從 $\mathbb {R} ^{n}$上某個開集 $U$ 映射到實數 $\mathbb {R}$ 的函數。給定 $U$ 內某點 $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$，以及任意非零向量 $\mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})$，定義一個依賴 $\mathbf {x}$ 跟 $\mathbf {v}$ 且從 $\mathbb {R}$ 映射到 $\mathbb {R}$的函數：

$f_{\mathbf {v} }\;:\;\;t\;\mapsto \;f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )$

若 $f_{\mathbf {v} }$ 對 $t$ 的微分在 $t=0$處存在，那麼可以定義$f$ 在點 $\mathbf {x}$ 沿向量 $\mathbf {v}$ 的方向導數為：

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\left.{\frac {\mathrm {d} f_{\mathbf {v} }}{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}=\lim _{t\rightarrow 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{t}}.$

有些書籍中會較為嚴格地定義方向導數為函數在某一點沿單位長度向量的方向導數，在這樣的上下文中，「函數在某點沿向量$\mathbf {a}$方向上的導數」指的是函數在這一點沿着$\mathbf {a}$對應的單位向量$\mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\|\mathbf {a} \|}}$的方向導數。

性質

許多導數的常見性質都適用於方向導數。例如，對於任何在p的鄰域內有定義且在點p可微的函數，都有：

• 加法定則：$\nabla _{v}(f+g)=\nabla _{v}f+\nabla _{v}g$
• 常數因子法則：對於任何常數c，$\nabla _{v}(cf)=c\nabla _{v}f$
• 乘法定則（或萊布尼茲法則）：$\nabla _{v}(fg)=g\nabla _{v}f+f\nabla _{v}g$
• 複合函數求導法則：如果g在點p可微且h在g(p)可微，則

$\nabla _{v}(h\circ g)(p)=h'(g(p))\nabla _{v}g(p)$

如果函數$f$在點$\mathbf {x}$處可微，則沿著任意非零向量$\mathbf {v}$的方向導數都存在。則有：

$\nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\mathrm {D} f_{\mathbf {x} }(\mathbf {v} )=\mathbf {v} \cdot \nabla f(\mathbf {x} ),$

其中$\mathrm {D} f_{\mathbf {x} }$ 是函數 $f$ 在點 $\mathbf {x}$ 的全微分，為一線性映射；$\nabla$ 符號表示梯度算子，而「$\cdot$」表示 $\mathbb {R} ^{n}$中的內積。 (註：在這例子裡，如果線性映射 $\mathrm {D} f_{\mathbf {x} }$ 用矩陣表示且選用自然基底的話，$\mathrm {D} f_{\mathbf {x} }=\nabla f({\mathbf {x} })$ 為 1 ×n 的矩陣)。

如果函數在某一點可微，則其在這一點上沿任何向量的方向導數都存在。但反之則不然。即便一個函數在某一點上沿任何向量的方向導數都存在，它也有可能在這一點上不可微，甚至不連續。

最大方向導數

如果一個標量場在某點沿任意方向的方向導數都存在，則其中必有最大的一個。由柯西不等式可知，方向導數的最大值等於其梯度的範數，當且僅當沿着其梯度的方向時取到。這也說明標量場某點梯度的方向是函數瞬時變化率最大的方向。

在微分幾何中

設 $M$ 是一個可微流形，$x$ 是 $M$ 上的一個點。假設 $f$ 是在 $P$ 的鄰域內有定義且在點 $x$ 可微的函數。如果 $v$ 是 $M$ 在點 $x$ 的一個切向量，則 $f$ 沿着 $v$ 方向的方向導數可以定義如下。設 $\gamma :[-1,1]\to M$ 是一個可微曲線，$\gamma (0)=x$，且 $\gamma '(0)=v$。則方向導數定義為：

$\nabla _{v}f(x)=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}$

法嚮導數

法嚮導數（normal derivative）是在空間裡沿着某個曲面的法線方向（也就是垂直該曲面）的方向導數，或者更一般來說，是沿着某個超曲面的法向量的方向導數。參見諾伊曼邊界條件。如果法線方向記為 ${\vec {n}}$，則函數 $f$ 的法嚮導數有時記為 ${\frac {\partial f}{\partial n}}$。

參見

• 梯度
• 李導數
• 微分形式
• 結構張量

參考文獻

• Kaplan, W. "The Directional Derivative." §2.14 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 135-138, 1991.
• Morse, P. M. and Feshbach, H. "Directional Derivatives." In Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 32-33, 1953.