斯里尼瓦瑟·拉马努金

斯里尼瓦瑟·拉马努金（英语: Srinivasa Ramanujan，坦米爾語：ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் ஐயங்கார்，ISO 15919轉寫：Srīṉivāsa Rāmāṉujan Aiyaṅkār，又译拉马努詹、羅摩奴詹、拉曼努真，1887年12月22日—1920年4月26日），英国皇家学会院士，是印度史上最著名的数学家之一。擅長数论，其中多牽涉π、质数等数学常数的求和公式，以及整數拆分。慣以直覺（或稱為數感）導出公式，不喜歡做證明，而他的理論在之後往往被證明是對的。他所留下尚未被證明的公式，啟發了幾位菲爾茲獎獲得者的工作。1997年，《拉马努金期刊》（Ramanujan Journal）创刊，用以发表有關「受到拉马努金影响的数学领域」的研究論文。

拉马努金 Srinivasa Ramanujan
出生	(1887-12-22)1887年12月22日 英属印度邁索爾王國埃羅德
逝世	1920年4月26日(1920歲—04—26)（32歲） 英属印度贡伯戈讷姆
母校	剑桥大学三一学院
知名于	兰道-拉马努金常数 拉马努金theta函数 拉马努金猜想 拉马努金質數 拉馬努金-索德納常數 拉馬努金和 拉馬努金求和 羅傑斯-拉馬努金恆等式 拉馬努金主定理
信仰	印度教
科学生涯
研究领域	数学
学术指导者	哈代、李特爾伍德
受影响自	戈弗雷·哈羅德·哈代
签名

他自學成才並負笈劍橋大學的傳奇故事曾數次被拍成電影，如2015年的《知无涯者》。

生平

童年和早年生活

斯里尼瓦瑟出生于英属印度，屬於婆羅門種姓。1898年，斯里尼瓦瑟十岁的时候，进入英属印度政府的一所小學就讀，在那里他似乎第一次接触到正规的数学。11岁时，他已经掌握了住在他家的房客的数学知识，他们是國立大学的学生。到13岁，從借來的書籍中掌握高等三角学的知识。他的天賦在14岁时开始显露。他不仅在学生時期不断获得荣誉证书和奖学金，他还帮学校处理把1,200个学生（各有不同需要）分配给35个教师的后勤事务，他甚至在给定时间一半内完成测验，还已经显示出对无穷级数的熟练掌握；他那时的同校的人后来回忆说：「我们，包括老师，很少可以理解他，并对他『敬而远之』」。但是，拉马努金對於其他科目无法集中注意力，并在高中考试中不及格。在這個時期，他的生活相当穷困，经常到了挨饿的地步。

在印度的成年阶段

拉马努金故居

因为结了婚，他必须找到工作。凭借着他的数学计算能力，他在真奈（舊稱馬德拉斯）到处找抄写员的工作。最后他终于找到了一个工作，並在一个英国人的建议下和剑桥的研究人员取得联系。

作为真奈总会计师事务所的职员，拉马努金渴望可以完全投入到数学中而不用做其他工作。他恳请有影响力的印度人给予支持，並在印度数学期刊上发表了一些论文，但并未得到支持。在这个時期，慕克吉（Ashutosh Mukherjee）爵士试图支持他的事业。

在1913年拉马努金發了一长串复杂的定理给三个剑桥的学术人士貝克（H. F. Baker）、霍布森（E. W. Hobson）、哈代（G. H. Hardy），只有三一学院的院士哈代注意到拉马努金在定理中所展现的天賦。

读完这位不知名印度业余数学家的唐突来信后，哈代和他的同事利特爾伍德（J. E. Littlewood）评论道：「没有一个定理可以放到世界上最高等的数学测试中。」即使戈弗雷·哈羅德·哈代是当时著名的数学家，而且是其中几个领域中的专家，他仍说：「（拉马努金所写下的許多東西）完全打败了我」、「我从没见过任何如此美麗的東西。」

作为他的成果的一个例子，拉马努金给出了漂亮的连分数：

${\sqrt {\phi +2}}-\phi ={\cfrac {e^{-{\frac {2\pi }{5}}}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\,\cdots }}}}}}}}=0.2840...$

其中$\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$是黄金分割。

在英国的生活

经历起初的一些怀疑过后，哈代回信给出了一些评论，要求其中一些发现的具体证明过程，并开始安排将拉马努金带到英国。作为正统的婆罗门，拉马努金咨询了他的旅行星象，因为出于宗教考虑，到外国去他可能失去他的种姓。拉马努金的母亲做了个梦，其中家族女神告诉她不要阻拦儿子的行程，所以他制定了行程，但他依旧尽力保持婆罗门的生活方式。

富有成果的合作开始了。哈代将之描述为：「我一生中最浪漫的事」。哈代评论拉马努金的公式，有些他起先不能理解，他说：「只要看它们一眼就知道只有一流的数学家才能写下它们。它们肯定是真的，因为如果不是的话，没人能有足够的想象力来发明他们。」哈代在艾狄胥对他的一次采访中说他自己对数学最伟大的贡献是发现了拉马努金，并稱拉马努金的天賦至少與数学巨人欧拉和雅可比（Carl Jacobi）相當。拉马努金后来成为三一学院的院士，并得到了科学界最高级别的荣誉，英国皇家学会会员（FRS）。

疾病和返回印度

健康问题困扰了他的後半生。由於过度投入研究工作，拉马努金的健康在英国急剧恶化。压力的加剧以及第一次世界大战时蔬菜的稀缺導致病情变得更加严重。他被诊断为肺结核（Henderson, 1996年）以及严重维生素不足，但1994年由楊格（Dr. D.A.B Young）进行的对拉马努金的医疗纪录和症状的分析结论为更可能他有肝变形虫病，一种感染肝臟的寄生虫。拉马努金在清奈待了很长时间进一步证实这一点，那是这种疾病广泛传播的沿海城市。那在当时是很难诊断的疑症，但一旦诊断当时已可治愈（Berndt, 1998年）。他于1919年返回印度，之后不久便在贡伯戈讷姆去世，他送給这个世界最后的礼物是拉马努金θ函数的发现。在他死後，他的妻子賈納姬（S. Janaki Ammal）搬到孟買，1950年回到清奈生活，直至1994年逝世。结婚时賈納姬才九岁，在当时的印度是相当常见的。

精神生活

拉马努金终生过着婆罗门的生活。关于他实际信仰的观点有很多区别：他的第一个印度传记作者把他描述为一个严格正统的婆罗门，而哈代（堅定的无神论者）相信他在涉及到形而上学的方面基本上是一个不可知论者。

哈代报道了拉马努金的一个断言说所有宗教一样正确。卡尼盖尔（Robert Kanigel）的传记则称拉马努金可能不会给哈代看到他宗教的一面；另一方面来讲，卡尼盖尔通常描写哈代的负面形象。

拉马努金将他的理解归功于他的家族女神納瑪姬莉（Namagiri：被視為Lakshmi吉祥天女的化身），并表示在他的工作中向她寻求灵感。他经常说：「一个方程对我没有意义，除非它传达了神的旨意。」

数学成就

在数学上，有洞察力和能推導出具体证明是截然不同的。拉马努金天才地提出了大量的公式，供人深入研究，並开启了新的研究方向。例如一些和圆周率相關的奇妙的无穷级数，像是：

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$

这和如下事实相关：

$e^{\pi {\sqrt {58}}}=396^{4}-104.00000017...$

他也提出許多恆等式，例如：

${\frac {1}{\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos n\theta }{\cosh n\pi }}\right)^{2}}}+{\frac {1}{\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh n\theta }{\cosh n\pi }}\right)^{2}}}={\frac {2\Gamma ^{4}\left({\frac {3}{4}}\right)}{\pi }}$

對所有θ都成立，此處Γ(z)代表伽瑪函數。

比較恆等式兩邊θ之不同冪的係數，就可以得出雙曲正割的許多恆等式。

哈代这样评论拉马努金：

“ 他知識不足的程度跟知識的深厚都讓人很吃驚。他是能够发现模方程和定理的人……到達前所未闻的地步，他对连分数的掌握……超出了世界上任何一个数学家，他自己发现了ζ函数的泛函方程和解析数论中的很多著名问题中級數的主要项；但他却没有听说过双周期函数或者柯西定理，对复变函数只有非常模糊的概念…… ”

定理和发现

拉马努金的笔记本內頁

以下包括拉马努金自己的发现，和与哈代的合作中发现和证明的定理

• 高度合成数的性質
• 整數分割函数和它的渐近线
• 拉马努金θ函数

他也在下列领域做出重大突破和发现：

• 伽瑪函數
• 模形式
• 发散级数
• 超几何级数
• 质数理论

他的发现异常丰富；甚至很多在日後被發現，其內涵比原本乍看之下還要豐富許多。

拉马努金猜想

雖然拉馬努金提出的很多命題都有資格被稱為拉馬努金（的）猜想，但其中一個特別有影響力，所以“拉馬努金猜想”通常指的是它。拉馬努金猜想斷定了拉馬努金τ函數的大小。這裡說的τ函數的生成函數是模判別式 Δ(q)（模形式理論中一種典型的尖形式（cusp form））。這個猜想在1973年終於被證明，可由皮埃爾·德利涅證明的魏依猜想推論而得，其化簡步驟相當複雜。

拉马努金的笔记

当他还在印度时，拉马努金在三本活页纸笔记上记录了很多结果。结果被写下来，但没有推导过程。这可能是对拉马努金不能证明自己的结果而只是直接想到最后结果的误解的起源。Berndt在他对这些笔记和拉马努金的工作的评论中，感到拉马努金几乎肯定能够对他绝大部分的结果作出证明，只是选择了不做证明。

这种工作风格可能有几个原因。因为纸在那时很贵，拉马努金在写字石板上进行了他大部分的工作可能还有他的证明，然后只将结果转移到纸上。在当时的印度，使用写字板对于数学的学生来讲很常见。他也可能受一本書的影響——他大部分的高等数学知识的來源卡爾（G. S. Carr））《纯数学和应用数学概要》（Synopsis of Pure and Applied Mathematics），这是卡爾用来教授数学的。它总结了几千个结果，不带证明的给出了它们。最后，可能拉马努金认为他的工作只是给他自己的个人兴趣用的；所以只记录了结果。（Berndt, 1998）

第一本笔记有351页，大约16个有某种组织的章和一些无组织的材料。第二本笔记有256页，散布在21章和100个无组织页面中。第三本有33个未组织的页面。他笔记本中的结果激发了大量论文，由后世企图证明他的发现的数学家所写。哈代自己也写了挖掘拉马努金工作中的材料的论文，就像沃森（G. N. Watson）、威爾遜（B. M. Wilson）和伯恩特（Bruce Berndt）所作的一样。（Berndt, 1998）

評價

2012年印度發行的拉马努金（國際數學日）紀念郵票

拉马努金是印度在过去一千年中所出非常伟大的数学家，他的直觉跳跃甚至令今天的数学家感到困惑與驚奇。在死后80多年，他的论文中所埋藏的秘密依然正在被挖掘。他的定理被应用到他活着的时候很难想象到的领域。美国作家罗伯特·卡尼盖尔所著传记《知無涯者：拉馬努金傳》后被中国数学家，武汉大学前校长齐民友等翻译成中文。

軼事

拉馬努金病重，哈代前往探望。哈代說：「我搭計程車來，車牌號碼是$1729$，這數字真沒趣，希望不是不祥之兆。」拉馬努金答道：「不，這個數有趣得很。在所有可以用兩個立方數之和來表達而且有兩種表達方式的數之中，${1729}$是最小的。」（即$1729=1^{3}+12^{3}=9^{3}+10^{3}$，後來這類數稱為的士數。）哈代引述利特爾伍德的話說：「每個正整數都是拉馬努金的朋友。」

延伸閱讀

• Collected Papers of Srinivasa Ramanujan ISBN 0-8218-2076-1
• The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan by Robert Kanigel ISBN 0-671-75061-5（中譯本：《知無涯者：拉馬努金傳》；羅伯特‧卡尼蓋爾著；胡樂士、齊民友譯；上海科技教育出版社；2002）

参看

• Ramanujan-Peterssen猜想
• 1729
• 朗道-拉马努金常数
• Ramanujan-Soldner常数
• 拉马努金滚盾（Ramanujan Rolling Shield）
• 拉马努金θ函数
• 拉马努金图
• 拉马努金τ函数
• 罗杰斯-拉马努金恒等式
• SASTRA拉马努金奖
• ICTP拉马努金奖
• 拉馬努金求和
• 拉馬努金 (電影)
• 拉馬努金機：谷歌打造的AI
• 哈代—拉馬努金定理

参考資料

• An overview of Ramanujan's notebooks by Bruce C. Berndt, in Charlemagne and His Heritage: 1200 Years of Civilization and Science in Europe， Volume 2: Mathematical Arts, P. L. Butzer, H. Th. Jongen, and W. Oberschelp, editors, Brepols, Turnhout, 1998, pp. 119-146，（22 pg. pdf file （页面存档备份，存于互联网档案馆））
• Modern Mathematicians， Harry Henderson, Facts on File Inc., 1996

外部链接

• The Ramanujan Journal
• 探求「無限」奧秘的數學家 一Srinivasa Ramanujan，顏一清，數學傳播季刊第27卷 第3,4期[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）[2] （页面存档备份，存于互联网档案馆）