1 + 2 + 3 + 4 + …
無窮級數中1 + 2 + 3 + 4 + …為所有自然数的和,是一个发散级数,其數學式也寫作
尽管這個级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值,透過黎曼ζ函數正規化與拉馬努金求和等方法可產生一有限值 ,表示為:
部分和公式的证明
编辑自然数從 1 加到 n 的和是 能用许多方法证明。首先令
我们将这些项重排反着写:
将两者相加,对应项相加,我们得到
ζ函数的求和与解析连续性
编辑当 s 的实部大于 1,s 次方的黎曼ζ函数等于求和 。当 s 的实部小于或等于 1 时和式发散,但当 s = −1 时 由 ζ(s) 的解析延拓给出 ζ(−1) 为 。
物理
编辑在玻色弦理論中,我们想算出一个弦的可能的能量级,特别是最低能量级。非正式地说,每一个弦的谐波可以视为一组 无关量子谐振子,这里 是时空的维数。如果基本振子频率是 则一个振子对 级谐波的贡献是 。所以利用发散级数我们发现在所有谐波上求和是 。最后这确实是正确的,与Goddard–Thorn theorem一起,导致波色弦理论在维数不为 26 时是不一致的。
一个类似的计算是计算卡西米尔力。
历史
编辑在拉马努金写给戈弗雷·哈羅德·哈代的第二封信中(日期为1913年2月27日):
注释
编辑引用
编辑- Berndt, Bruce C., Srinivasa Ramanujan Aiyangar, and Robert A. Rankin. Ramanujan: letters and commentary. American Mathematical Society. 1995. ISBN 0-8218-0287-9.
- Hardy, G.H. Divergent Series. Clarendon Press. 1949. LCC QA295 .H29 1967.
延伸阅读
编辑- Lepowsky, James. Vertex operator algebras and the zeta function. Contemporary Mathematics. 1999, 248: 327–340 [2008-12-13]. (原始内容存档于2018-12-01).
- Zee, A. Quantum field theory in a nutshell. Princeton UP. 2003. ISBN 0-691-01019-6. See pp. 65–6 on the Casimir effect.
- Zwiebach, Barton. A First Course in String Theory. Cambridge UP. 2004. ISBN 0-521-83143-1. See p. 293.