简谐运动,或稱简谐振动谐振SHM(Simple Harmonic Motion),即是最基本也是最简单的一种机械振动。当某物体进行简谐运动时,物体所受的(或物体的加速度)的大小与位移的大小成正比,并且力(或物体的加速度)总是指向平衡位置。

如果用表示物体受到的回復力,用表示物体对于平衡位置的位移,根据胡克定律成正比,它们之间的关系可用下式来表示:

[1]

式中的是回复力与位移成正比的比例系数;负号的意思是:回复力的方向总跟物体位移的方向相反。

根据牛顿第二定律「」当物体质量一定时,运动物体的加速度总跟物体所受合力的大小成正比,跟合力的方向相同,且系統的機械能守恆

动力学方程

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同一简谐运动在实空间和相空间的不同显示。轨道英语Orbit (dynamics)周期性的。(为使两图一致,这里的速度轴和位置轴与标准惯例相反)

对于一维的简谐振动,其动力学方程是二阶微分方程,可由牛顿第二运动定律得到

 

回复力又可表示为 

所以有 

求解上述方程,得到的解含有正弦函数

 ,其中
 
 
 

  是由初始条件决定的常数。取平衡位置为原点,每项都有物理意义: 是振幅, 是角频率, 加速度可以作为时间的函数得到

 
 (在平衡位置)
 
 (在最大位移处)

加速度也可以通过位移的函数得到

 

因为  

 

又因为周期  ,所以: 

以上方程说明了简谐振动具有等时性,即一个做简谐振动的质点运动周期和振幅以及相位无关。[1]:163

线性回复力

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在运动过程中,物体所受力的大小与它的位移的大小成正比,而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。

彈簧

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将一个有孔小球体与一个弹簧连在一在运动过程中,物体所受力的大小与它的位移的大小成正比,而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。平杆穿入小球体,使球体可以在水平杆上左右滑动,而球体与水平杆的摩擦力小得可以忽略不计。将弹簧的一端固定住,弹簧的整体质量要比球体质量小得多,这样弹簧本身质量也可以忽略不计。这个系统便是一个弹簧振子。

弹簧振子系统在平衡状态下,弹簧没有形变,振子(小球体)在平衡位置保持静止。若把振子拉过平衡位置,到达最大幅度,再松开,弹簧则会将振子向平衡位置收回。在收回的过程中,弹簧的势能转换为振子的动能,势能在降低的同时,动能在增加。当振子到达平衡位置时,振子所积累的动能又迫使振子越过平衡位置,继续向同样的方向移动。但因已越过弹簧振子系统的平衡位置,所以这时弹簧开始对振子向相反方向施加力。动能转作势能,动能降低,势能上升,直至到达离平衡位置最大幅度的距离。这时振子所有的动能被转化为势能,振子速度为零,停止运动。势能又迫使振子移回平衡位置,在移动过程中,势能转为动能,因而再次越过平衡位置,重复这个过程。在没有任何其他力影响的完美的条件下,这个弹簧振子系统会在两个最大幅度点间不停地做往返运动。彈簧振子的固有週期固有頻率與彈簧彈力係數和振子質量有關,與振幅大小無關。

振幅、週期和频率

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1.振幅

振幅 代表质点偏离中心(平衡位置)的最大距离,它正比于 ,即它的平方正比于系统的机械能E。

2.角频率

角频率: , 频率f为周期T的倒数。

其中 。推导过程:

 
对于时间t求导,  
再关于时间t求导, 
由牛顿第二定律得 
两式联立得 

下图為簡諧運動的圖像,表示的是振動物體的位移隨時間變化的規律。是一條正弦餘弦曲綫。  

這個運動是假設在沒有能量損失引致阻尼的情況而發生。振幅描繪了振動的強弱,是標量,大小為最大位移的大小,質點在一次全振動過程中通過的路程等於4倍振幅。完成一次全振動的时间叫週期,單位時間內完成全振動的次数叫頻率,週期和頻率描繪了振動的快慢。

简谐振动的判定

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  1. 如果一个质点在运动中所受的合外力是一个简谐力
     
    即合外力的大小与位移成正比且方向相反,那么我们称这个质点的运动是简谐振动。在弹簧振子模型中,比例系数 即为弹簧系数,或称倔强系数(劲度系数)。
  2. 如果一个质点的运动方程有如下形式
     
    即,质点的位移随时间的变化是一个简谐函数,显然此质点的运动为简谐振动。
  3. 如果一个质点的动力学方程可以写成
     
    其中 为正的实数。则质点的运动是一个简谐振动
  4. 如果质点在运动过程中具有形式为 的彈力势能,且
     
    则质点的运动为简谐振动

应该说明:

  1. 以上各判定方法是完全等价的;
  2. 以上各表达式中的 既可以是线量(线位移),又可以是角量(角位移),相应的,速度可以为线速度和角速度,对应的加速度是线加速度和角加速度。

例子

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弹簧

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把质量为 的物体悬挂在彈力常數为k的弹簧的底端,则物体将进行简谐运动,其方程为:

 

如果要计算它的周期,可以用以下的公式:

 

总能量是常数,由方程 给出。

等速率圆周運動

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等速率圆周運動的一维投影是簡諧運動。如果物體以 角速率沿着半徑为 的圆移動,则它在x軸、y軸或任意一條直徑上的投影會是簡諧運動,其振幅为 ,角速率为 

在偏角不太大的情况(一般認為小於5°)下,单摆的运动可以近似地视为简谐运动。如果单摆的长度为 ,重力加速度为 ,则周期为:

 

这个公式仅当偏角很小时才成立,因为角加速度的表达式是与位置的正弦成正比的:

 

其中I是转动惯量,在这种情况下 。当 很小时, ,因此上式变为:

 

这使得角加速度与 成正比,满足了简谐运动的定义。單擺的回復力是擺球的重力沿運動方向的分力。[1]:165

参阅

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参考资料

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 赵志敏. 高中教程。基础篇. 复旦大学出版社. 2011年10月. ISBN 978-7-309-08251-7 (中文(中国大陆)). 

外部链接

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