流 (数学)

在数学中，一个流用数学方式形式化了“取决于时间的变化”的一般想法，这经常出现在工程学, 物理学和常微分方程的研究中。非正式地说，如果 $x(t)$ 是某一系统的坐标连续表现为一个 t 的函数，那么 $x(t)$ 是一个流。更形式地说，流是单参数群在一个集合上的群作用。

向量流的概念，即由一个向量场确定的流，出现于微分拓扑、黎曼流形和李群诸多领域。向量流的特例包括测地流、哈密顿流、里奇流、平均曲率流以及 Anosov 流。

形式化定义

集合 $X$ 上的一个流是 $(\mathbb {R} ,+)$ 在 $X$ 上的群作用。更准确地，流是一个函数 $\varphi :X\times \mathbb {R} \rightarrow X$ ，满足 $\varphi (x,0)=x$ 且和单参数群保持一致：

\varphi (\varphi (x,t),s)=\varphi (x,s+t)

对所有 $s,t$ 属于 $\mathbb {R}$ 和 $x\in X$ 。

集合 ${\mathcal {O}}(x,\varphi )=\{\varphi (x,t):t\in \mathbb {R} \}$ 称为 $x$ 在 $\varphi$ 作用下的轨道。

当空间 $X$ 有额外的结构（比如 $X$ 是一个拓扑空间或 $X=\mathbb {R} ^{n}.$ ）时，流经常要求连续甚至可微。

在许多领域，包括在工程学、物理和常微分方程研究中一般用一个记号明确的表明流。从而

x(t)

写成 $\phi (x,t)$ ，这样我们可以说“变量 x 取决于时间 t”。事实上，在记号上，有严格的等价关系： $x(t)\equiv \phi (x,t)$ 。类似地

x_{0}=x(0)

写成 $x=\phi (x,0)$ ，等等。

流最常见的例子是描述自治常微分方程的解，当方程的解存在且惟一时

y'=f(y),\;\;\;y(0)=x

可作为初始条件 $x$ 的函数。这就是，如果以上方程有惟一的解 $\psi _{x}:\mathbb {R} \rightarrow X$ 对任何 $x\in X$ ，那么 $\varphi (x,t)=\psi _{x}(t)$ 定义了一个流。