泛函
泛函(functional)指以函數构成的向量空间为定義域,以实数或复数域为值域的「函數」,即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量,往往被称为“函数的函数”。在泛函分析中,泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。泛函的应用可以追溯到变分法,其中通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上,寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。
设是由一些函数構成的集合。所谓上的泛函就是上的一个实值函数。称为该泛函的容许函数集。
函数的变换某种程度上是更一般的概念,参见算子。
例子
编辑设在 xOy 平面上有一簇曲线 , 其长度为 。
显然, 不同, 也不同,即 的数值依赖于整个函数 而改变。 和函数 之间的这种依赖关系就称为泛函关系。
性质
编辑對偶性
编辑觀察映射
是一個函數,在這裡, 是函數f的自变量。
同時,將函數映射至一個點的函數值
是一個泛函,在此 是一個參數
参见
编辑参考资料
编辑- Rowland, Todd. Functional. MathWorld.
- Lang, Serge, III. Modules, §6. The dual space and dual module, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag: 142–146, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556