最佳化問題

数学、工程学、计算机科学和经济学領域中，最佳化问题，或称优化问题（英語：Optimization problem）是指从所有可行解（英语：feasible solution）中找到最优良的解的问题。

根据变量是连续的或离散的，可将最佳化问题分为两类：

具有离散变量的最佳化问题称为离散优化，其中必须找到可数集合中的整数、排列或图等对象。
具有连续变量的最佳化问题称为连续优化，其中必须找到连续函数的最优值。它们可以包括约束问题和多模态问题。

最佳化问题和决定性问题（Decision problem）、功能性问题（Function problem）不同，最佳化问题是：从问题的多个解中，求出最佳解。像背包问题（考虑不同价格和重量的物品，以及可承载一定重量的背包，如何选择物品，使背包中的物品的总价最高）即属于最佳化问题。

连续优化问题

连续优化问题的规范形是^[1] ${\begin{aligned}&{\underset {x}{\operatorname {minimize} }}&&f(x)\\&\operatorname {subject\;to} &&g_{i}(x)\leq 0,\quad i=1,\dots ,m\\&&&h_{j}(x)=0,\quad j=1,\dots ,p\end{aligned}}$ 其中

$f:\ \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ 是n元向量x的目标函数，其值需要最小化；
$g_{i}(x)\leq 0$ 称作不等式约束；
$h_{j}(x)=0$ 称作等式约束；
$m\geq 0,\ p\geq 0$ 。

若 $m=p=0$ ，则问题就是无约束优化问题。按照惯例，标准形定义了最小化问题。最大化问题可通过将目标函数取逆得到。

组合优化问题

组合优化问题A是四元组 $(I,\ f,\ m,\ g)$ ，其中

I是可行值集合；
给定可行值 $x\in I,\ f(x)$ 是可行解集；
给定可行值x、对应的可行解y， $m(x,\ y)$ 表示y的测度，一般是正实数。
g是目标函数，且须取极值。

我们的目标是为某可行值x找到最优解，即可行解y，且满足 $m(x,y)=g\left\{m(x,y'):y'\in f(x)\right\}.$

对每个组合优化问题，有相应的决策问题：对某特定测度 $m_{0}$ ，是否存在可行解。例如，若有包含顶点u、v的图G，优化问题可能是“找到u到v使用最少边的路径”，答案可能是4；相应的决策问题是“是否有u到v的路径使用了少于10的边数”，可以用简单的“是否”回答。

近似算法领域中，算法是为问题找到近似最优解。因此，通常的决策的定义是不充分的，因为其只指定了可行解。虽然可以引入合适的决策问题，但描述为优化问题更自然。^[2]

另见

函数问题

参考文献

^ Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven. Convex Optimization (pdf). Cambridge University Press. 2004: 129 [2024-03-07]. ISBN 978-0-521-83378-3. （原始内容存档 (PDF)于2021-05-09）.
^ Ausiello, Giorgio; et al, Complexity and Approximation Corrected, Springer, 2003, ISBN 978-3-540-65431-5

外部链接

How Traffic Shaping Optimizes Network Bandwidth. IPC. 2016-07-12 [2017-02-13].

[1] Boyd, Stephen P.; Vandenberghe, Lieven. Convex Optimization (pdf). Cambridge University Press. 2004: 129 [2024-03-07]. ISBN 978-0-521-83378-3. （原始内容存档 (PDF)于2021-05-09）.

[Ausiello03-2] Ausiello, Giorgio; et al, Complexity and Approximation Corrected, Springer, 2003, ISBN 978-3-540-65431-5

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