正扭歪無限面體

(重定向自扭歪正無限面體

幾何學中,正扭歪[1][2]無限面體(英語:Regular skew apeirohedron),又稱扭歪正多面體(日语:ねじれ正多面体[註 1]是一種頂點並非全部共面的正無限面體,即每個面都全等、每個角也相等的扭歪無限面體。通常扭歪無限面體會具有正扭歪的面或扭歪的頂點圖

歷史

编辑

關於考克斯特,1926年時,約翰·弗林德斯·皮特里將扭歪多邊形非平面多邊形)的概念推廣到四維空間扭歪多面體三維空間的扭歪無限面體。

考克斯特找到了三種形式,他們具有平的面和扭歪的頂點圖,兩者彼此互補。它們都可以用施萊夫利符號的擴展符號{l,m|n}來表示。這個擴展符號{l,m|n}表示每個頂點都是 個正 邊形的公共頂點,且存在正 邊形的空洞。

若一扭歪無限面體是一個正扭歪無限面體,則其施萊夫利符號存在下列等式:

  • 2 sin(π/l) · sin(π/m) = cos(π/n)

三維空間的正扭歪無限面體

编辑

三維空間中有三種扭歪無限面體,分別為四角六片四角孔扭歪無限面體六角四片四角孔扭歪無限面體六角六片三角孔扭歪無限面體約翰·康威將他們稱為多立方體(英語:Mucube)、多八面體(英語:Muoctahedron)和、多四面體(英語:Mutetrahedron),英文中的字首mu-表示「多」(英語:multiple)的意思,其意義分別代表「很多立方體」、「很多八面體」以及「很多四面體」[3]

  1. 四角六片四角孔扭歪無限面體(多立方體、英語:Mucube):{4,6|4}:每個頂點都是六個正方形的公共頂點
  2. 六角四片四角孔扭歪無限面體(多八面體、英語:Muoctahedron):{6,4|4}:每個頂點都是四個六邊形的公共頂點
  3. 六角六片三角孔扭歪無限面體(多四面體、英語:Mutetrahedron):{6,6|3}:每個頂點都是六個六邊形的公共頂點

考克斯特給予這些 {2q,2r|p} 形式的扭歪無限面體與抽象群 (2q,2r|2,p) 同構的[[(p,q,p,r)]+的手徵對稱性。與之相關的堆砌就具有[[(p,q,p,r)]]的擴展對稱性[4]

緊空間正扭歪無限面體
考克斯特群
對稱性
無限面體
{p,q|l}
圖像
{p}

{l}
頂點圖 相關堆砌
   
[[4,3,4]]
[[4,3,4]+]
{4,6|4}
四角六片四角孔
扭歪無限面體

多立方體
 
動畫
    扭歪六邊形
 
(黃色部分)
   
t0,3{4,3,4}
 
{6,4|4}
六角四片四角孔
扭歪無限面體

多八面體
 
動畫
  扭歪四邊形
 
(綠色部分)
   
2t{4,3,4}
 
   
[[3[4]]]
[[3[4]]+]
{6,6|3}
六角六片三角孔
扭歪無限面體

多四面體
 
動畫
    扭歪六邊形
 
(綠色部分)
   
q{4,3,4}英语Quarter cubic honeycomb
 

三維雙曲空間的正扭歪無限面體

编辑

1967年時,C. W. L. Garner以類似於在歐式三維空間尋找正扭歪無限面體的方式,發現了31種雙曲空間中具有扭歪多邊形頂點圖的正扭歪無限面體[5]

14種緊空間正扭歪無限面體

编辑
14種緊空間正扭歪無限面體
考克斯特群 無限面體
{p,q|l}

{p}

{l}
堆砌 頂點圖 無限面體
{p,q|l}

{p}

{l}
堆砌 頂點圖
    
[3,5,3]
{10,4|3}         
2t{3,5,3}英语Bitruncated icosahedral honeycomb
  {4,10|3}         
t0,3{3,5,3}英语Runcinated icosahedral honeycomb
 
   
[5,3,5]
{6,4|5}        
2t{5,3,5}英语Bitruncated order-5 dodecahedral honeycomb
  {4,6|5}        
t0,3{5,3,5}英语Runcinated order-5 dodecahedral honeycomb
 
    
[(4,3,3,3)]
{8,6|3}         
ct{(4,3,3,3)}
  {6,8|3}         
ct{(3,3,4,3)}
 
    
[(5,3,3,3)]
{10,6|3}         
ct{(5,3,3,3)}
  {6,10|3}         
ct{(3,3,5,3)}
 
     
[(4,3,4,3)]
{8,8|3}          
ct{(4,3,4,3)}英语Cyclotruncated cubic-octahedral honeycomb
  {6,6|4}          
ct{(3,4,3,4)}英语Cyclotruncated octahedral-cubic honeycomb
 
     
[(5,3,4,3)]
{8,10|3}          
ct{(4,3,5,3)}
  {10,8|3}          
ct{(5,3,4,3)}
 
     
[(5,3,5,3)]
{10,10|3}          
ct{(5,3,5,3)}英语Cyclotruncated dodecahedral-icosahedral honeycomb
  {6,6|5}          
ct{(3,5,3,5)}英语Cyclotruncated icosahedral-dodecahedral honeycomb
 

17種仿緊空間正扭歪無限面體

编辑
17種仿緊空間正扭歪無限面體
考克斯特群 無限面體
{p,q|l}

{p}

{l}
堆砌 頂點圖 無限面體
{p,q|l}

{p}

{l}
堆砌 頂點圖
    
[4,4,4]
{8,4|4}         
2t{4,4,4}英语Bitruncated order-4 square tiling honeycomb
  {4,8|4}         
t0,3{4,4,4}英语Runcinated order-4 square tiling honeycomb
 
    
[3,6,3]
{12,4|3}         
2t{3,6,3}英语Bitruncated triangular tiling honeycomb
  {4,12|3}         
t0,3{3,6,3}英语Runcinated triangular tiling honeycomb
 
   
[6,3,6]
{6,4|6}        
2t{6,3,6}英语Bitruncated order-6 hexagonal tiling honeycomb
  {4,6|6}        
t0,3{6,3,6}英语Runcinated order-6 hexagonal tiling honeycomb
 
    
[(4,4,4,3)]
{8,6|4}         
ct{(4,4,3,4)}
  {6,8|4}         
ct{(3,4,4,4)}
 
     
[(4,4,4,4)]
{8,8|4}          
q{4,4,4}英语Order-4 square tiling honeycomb
 
     
[(6,3,3,3)]
{12,6|3}         
ct{(6,3,3,3)}
  {6,12|3}         
ct{(3,3,6,3)}
 
     
[(6,3,4,3)]
{12,8|3}          
ct{(6,3,4,3)}
  {8,12|3}          
ct{(4,3,6,3)}
 
     
[(6,3,5,3)]
{12,10|3}          
ct{(6,3,5,3)}
  {10,12|3}          
ct{(5,3,6,3)}
 
     
[(6,3,6,3)]
{12,12|3}          
ct{(6,3,6,3)}
  {6,6|6}          
ct{(3,6,3,6)}
 

參見

编辑

註釋

编辑
  1. ^ 對於此主題(無限多個面的扭歪多面體),將之稱為「扭歪正多面體」可能會有歧義,因為非無限多面的扭歪多面體也可能是正多面體,例如正多面體#皮特里對偶

參考文獻

编辑
  1. ^ 400年ぶりに新種の「対称性多面体」構造が発見される. gigazine.net. 2014-02-22 [2016-07-16]. (原始内容存档于2020-11-19). 
  2. ^ 扭歪の意味. Weblio日中中日辞典. [2024-04-23]. (原始内容存档于2013-07-20). 
  3. ^ The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 Objects with Primary Symmmetry, Infinite Platonic Polyhedra, pp. 333–335
  4. ^ Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II 2.34)
  5. ^ Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967. [1]页面存档备份,存于互联网档案馆) Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.

外部連結

编辑