康威多面體表示法

康威多面體表示法是用來描述多面體的一種方法。一般是用種子多面體（seed）為基礎並標示對種子多面體做的操作或運算。

種子多面體一般都為正多面體或正多邊形密鋪，表示的字母則取他們名字的第一個字母，例如:

另外柱體和錐體也可以作為種子，並以它是底面邊數加一個字母表示:

例如種子“P5”是指五角柱、“P10”是指十角柱、“Y6”是指六角錐、“J86”是指球狀屋頂、“A86”是指86角反稜柱。

任何凸多面體皆可以當作種子，前提是它可以執行操作或運算。

何頓·康威提出這個想法, 就像克卜勒的截角定義,建立相關的多面體相同的對稱性。它的多面體表示法能從正多面體種子表示所有阿基米德立體、半正多面體和卡塔蘭立體。在一系列的應用中，康威多面體表示法可以產生許多高階多面體。

多面體的運算

下面列出康威多面體表示法中，多面體的運算符號，那些運算通常類似幾何變換，並以 (v,e,f) 表示進行該運算或操作後多面體的變化。

基本操作
運算符	運算符號名稱	別名	英文名	替代同構	頂點	邊	面	描述
	原像		Seed		v	e	f	來源種子
d	對偶		dual		f	e	v	產生對偶多面體-每個頂點創建一個新的面，或面的重心當作新的頂點。
a	截半		ambo		e	2e	2 + e	邊是新的頂點，舊的頂點消失，或將邊的中點當作新的頂點。(rectify)
j	會合		join	da	e + 2	2e	e	每個面都加入上當高的錐體，使相鄰面的錐體各有一面互相共面，形成四邊形。
t	截角		truncate	dkd	2e	3e	e + 2	截去所有頂點 conjugate kis
k	n角化		kis	dtd	e + 2	3e	2e	每個面都加入角錐.
i	過截角	雙截角	--	dk	2e	3e	e + 2	Dual of kis. (bitruncation)
n	--		--	kd	e + 2	3e	2e	Kis of dual
e	小斜方擴展（英语：Expansion (geometry)）		expand	aa = aj	2e	4e	2e + 2	在每個頂點建立新的面，並在各邊建立四邊形。 (cantellate)
o	正交	菱形鳶形有時作四角化	ortho	de = ja = jj	2e + 2	4e	2e	每個n邊形面被分割成n個四邊形。
b	大斜方		bevel	ta	4e	6e	2e + 2	加入新的面代替邊和頂點 (在高維多胞體稱為cantitruncation).)
m	元	有時作三角化	meta	db = kj	2e + 2	6e	4e	將n邊形的面切割成2n個三角形

擴展操作
運算符	運算符號名稱	別名	英文名	替代同構	頂點	邊	面	描述	例子
	原像		Seed		v	e	f	Seed form
r	手性鏡像	鏡射	reflect		v	e	f	產生手性鏡像
h	交錯半^*		half ^*		v/2	e	f+v/2	Alternation, remove half vertices, limited to seed polyhedra with even-sided faces
	部分截半部分截角		uncompleted rectifie/truncate		e	2e	2 + e	對某些條件面截半，其餘面截角	tO→ 結果
c	倒角		chamfer		v + 2e	4e	f + e	將邊用六邊形取代	T→ 結果
	雙倒角				v + 2e	4e	f + e	將邊用兩個五邊形取代
-			-	dc	f + e	4e	v + 2e
p	旋轉		propellor (Hart)		v + 2e	4e	f + e	將面旋轉，並在頂點建立四邊形 (self-dual)
-			-	dp = pd	f + e	4e	v + 2e
s	扭稜		snub	dg = hta	2e	5e	3e + 2	「擴大和扭曲」 - 每個頂點創建一個面，每條邊創建了兩個新的三角形
g	陀螺		gyro	ds	3e + 2	5e	2e	每個n邊形面被切割成n個五邊形。
w	旋面		whirl		v+4e	7e	f+2e	將面旋轉，並在頂點建立與原面相似但是旋轉的新面此操作會在邊上建立兩個六邊形
-			-	dw	f+2e	7e	v+4e	旋面的對偶

這些運算符號的運算優先順序皆為由右至左。例如：

所有的操作都保有對稱性，除了s和g是扭曲的像並失去了鏡射對稱。

正方體 "seed"	截半	截角	双截角（Bitruncation）	离面（Cantellation）	大斜方截半（Omnitruncation）	扭稜（Snub）
C	aC = djC	tC = dkdC	tdC = dkC	eC = aaC = doC	bC = taC = dmC = dkjC	sC = dgC
對偶	加入錐體 (相鄰共面)		加入錐體 (到外接球)	正交 (edge-bisect)	元 (full-bisect)	陀螺
dC	jC = daC	kdC = dtC	kC = dtdC	oC = deC = daaC	mC = dbC = kjC	gC = dsC

所有的五個正多面體皆可以從棱柱種子經過零至兩個運算或操作而產生：

錐體: Y3 (正四面體是一個特別的角錐)
- T = Y3
- O = aY3 (截半四面體)
- C = daY3 (截半四面體的對偶多面體)
- I = sY3 (扭稜四面體)
- D = dsY3 (扭稜四面體的對偶多面體)
反柱體: A3 (正八面體是一個特別的反柱體)
- O = A3
- C = dA3
柱體: P4 (正方體是一個特別的柱體)
- C = P4
五角反稜柱: A5
- I = k5A5 (特殊的雙錐反柱體)
- D = t5dA5 (特殊的截角偏方面體)

上述的運算和操作可以從正多面體種子或柱體錐體的種子產生所有的半正多面體、卡塔蘭立體、柏拉圖立體和阿基米德立體。許多多面體都可由高階的組合操作還表示，但是某些特別的多面體需要更多的符號來表示。

例如，幾何藝術家 George W. Hart定義他的操作稱為"propellor"，和另一個反映創建鏡像圖像的旋轉形式"reflect"。

為了表達詹森多面體，諾曼·詹森也定義了一些符號來表達它的多面體^[1]

下列種子都必須要在後面加註邊數:
- P = 柱體 (Prism)
- A = 反稜柱 (Antiprism)
- Y = 錐體 (Pyramid)
- Q = 帳塔
- R = 罩帳
- L = 三面單元組成一個正方形和對立的三角形
- U = n邊形，旁邊有三角形交替的邊。
- J = 直接表示詹森多面體，加註的數字代表詹森多面體的編號。
擴展的符號:
- + = 將符號後的種子加到符號前的種子之適當的面，可省略
- - = 在符號前的種子上照到跟符號後種子相同的部分並切除之
- × = 將符號前動作做符號後的次數次，符號後必為常數，可省略
- () = 將種子括號並指定動作
例如:
- "Y3P3" = Y3 + P3 = 正三角錐柱
- "-Q3tT" = -Q3 + tT = tT - Q3 = 側台塔截角四面體
- "-(Q5)2eD" = eD - (Q5)×2 = 側台塔小斜方截半二十面體欠二側台塔

下面擴展符號也可以用於康威多面體表示法，但是在施萊夫利符號中，更為常用。

例如:

例如: 球面的正五邊形密鋪:正十二面體種子 (D)
D	tD	aD	tdD	eD	teD	sD
dD					dteD

例如:歐幾里得平面的正六邊形密鋪種子 (H)
H	tH	aH	tdH = H	eH	teH	sH
dH	dtH	daH	dtdH = dH	deH	dteH	dsH

例如: 雙曲面的正七邊形密鋪種子 ( {7,3} )
{7,3} "seed"	truncate	ambo (rectify)	bitruncate	expand (cantellate)	bevel (omnitruncate)	snub
{7,3}	t{7,3}	a{7,3}	dk{7,3}	e{7,3}	b{7,3}	s{7,3}
dual		join	kis (vertex-bisect)	ortho (edge-bisect)	meta (full-bisect)	gyro
d{7,3}	dt{7,3}	j{7,3}	k{7,3}	o{7,3}	m{7,3}	g{7,3}