分數傅立葉變換

在數學中，分數傅立葉變換（Fractional Fourier transform，縮寫：FRFT）指的就是傅立葉變換（Fourier Transform）的廣義化。近幾年來，分數傅立葉變換除了在信號處理領域有相當廣泛的應用，其也在數學上被單獨地研究，而定義出如分數迴旋積分（Fractional Convolution）、分數相關（Fractional Correlation）等許多相關的數學運算。

分數傅立葉變換的物理意義即做傅立葉變換 $a$ 次，其中 $a$ 不一定要為整數；而做了分數傅立葉變換之後，信號或輸入函數便會出現在介於時域與頻域之間的分數域（Fractional Domain）。

若再更進一步地廣義化分數傅立葉變換，則可推廣至線性標準變換。

由來

對信號 $x(t)$ 做一次傅立葉變換的結果為 ${\mathcal {F}}(x)$ ，做兩次傅立葉變換的結果為 ${\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(x))$ ，表示成 ${\mathcal {F}}^{2}={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(x))$ ，而當做了 $a$ 次的傅立葉變換可以寫成一般式 ${\mathcal {F}}^{a}(x)={\mathcal {F}}^{(a-1)}({\mathcal {F}}(x))$ 。至此，都以 $a$ 為整數做考量，當令 $a={\frac {2\phi }{\pi }}$ 即 $\phi ={\frac {1}{2}}a\pi$ 時，將 $x(t)$ 的分數傅立葉變換定義為 ${\mathcal {F}}_{\phi }(x)={\mathcal {F}}^{2\phi /\pi }(x)$ ，其中 $\phi$ 可以不必為整數。

歷史

分數傅立葉變換這個概念，其實最早在西元1929年，N.Wiener就已提出，但是並沒有受到太多的矚目。過了約莫50年，V.Namias 在西元1980年重新提出（稱之為重發明）這個概念，但是一直到西元1994年，才有人真正把分數傅立葉變換用在信號處理上，此人為 L. B. Almeida。詳細歷史：1937年提出分數傅立葉變換的概念雛形; 1980年Namias較明確地提出分數傅立葉變換的數學表達式，並將其用於具有確定邊界條件的量子力學薛定諤方程的求解1987年Bride & Kerr 給出嚴格的數學定義以及性質1993年由德國的學者羅曼，土耳其的Ozaktas和以色列的Mendlovic等人首次將分數傅立葉變換概念引入光學並給出了相應的光學過程; Mendlovic＆Ozaktas：漸變折射率GRIN介質中光傳播。 A. W. Lohmann: 維格納分佈函數和以及透鏡實現，自由空間的光衍射。 1993年Ozaktas，羅曼，Mendlovic等人在光學中全面引入分數傅立葉變換; 1995年Shih提出了另外一種分數傅立葉變換的形式; 1997年劉樹田等人根據Shih的定義給出了廣義分數傅立葉變換，1999年劉樹田等人將分數傅立葉變換應用於圖像加密研究中; 2001年Ozaktas等人出版“分數傅立葉變換及其在光學和信號處理中應用”一書。

定義

第一種定義:

X_{\phi }(u)={\sqrt {1-jcot\phi }}\cdot e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j2\pi \cdot csc\phi \cdot ut}e^{j\pi \cdot cot\phi \cdot t^{2}}x(t)dt

第二種定義:

X_{\phi }(u)={\sqrt {\frac {1-jcot\phi }{2\pi }}}\cdot e^{j{\frac {cot\phi }{2}}\cdot u^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-jcsc\phi \cdot ut}e^{j{\frac {cot\phi }{2}}\cdot t^{2}}x(t)dt

$\phi =0.5a\pi$ , $a$ 為實數。

當 $a=1$ 時 (亦即 $\phi =0.5\pi$ )，分數傅立葉變換就成了傅立葉變換。

表示法

${\mathcal {F}}^{2}(f)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}(f))$ ，則可推廣為 ${\mathcal {F}}^{(n+1)}(f)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{n}(f))$ ;依此類推， ${\mathcal {F}}^{-n}(F)$ 表示 $F(\omega )$ 的 $n$ 次逆變換 ${\mathcal {F}}^{-1}(F)$ 。

而分數傅立葉變換將以上定義推廣至非整數次的 $n={\frac {2\alpha }{\pi }}$ ，且 $\alpha$ 為實數，表示為

${\mathcal {F}}_{\alpha }(f)={\mathcal {F}}^{2\alpha /\pi }(f)$ ，

當 $n={\frac {2\alpha }{\pi }}$ 是一個整數時則代表傅立葉轉換做 $n$ 次。

例如:

$n=1$ 時相當於做一次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉90度

$n=2$ 時相當於做兩次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉180度, ${\mathcal {F}}^{2}[x(t)]=x(-t)$

$n=3$ 時相當於做三次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉270度

$n=4$ 時相當於做四次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉360度, ${\mathcal {F}}^{4}[x(t)]=x(t)$

性質

對於任一實數 $\alpha$ ，一個對 $f$ 函數做 $\alpha$ 角度分數傅立葉變換定義為

${\mathcal {F}}_{\alpha }(f)(\omega )={\sqrt {\frac {1-i\cot(\alpha )}{2\pi }}}e^{i\cot(\alpha )\omega ^{2}/2}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\csc(\alpha )\omega t+i\cot(\alpha )t^{2}/2}f(t)dt$

並且具備以下特性

加法性(Additivity)

${\mathcal {F}}_{\alpha +\beta }(f)={\mathcal {F}}_{\alpha }({\mathcal {F}}_{\beta }(f))={\mathcal {F}}_{\beta }({\mathcal {F}}_{\alpha }(f))$ 。

線性(Linearity)

${\mathcal {F}}_{\alpha }\left[\sum \nolimits _{k}b_{k}f_{k}(u)\right]=\sum \nolimits _{k}b_{k}{\mathcal {F}}_{\alpha }\left[f_{k}(u)\right]$

整數傅立葉性質(Integer Orders)

若 $\alpha ={\frac {k\pi }{2}}$ ,其中 $k$ 為一整數則相當於做 $k$ 次傅立葉轉換；

當 $\alpha ={\frac {\pi }{2}}$ 時，這個定義就變成了連續傅立葉變換的定義，

當 ${\displaystyle \alpha ={\frac {-\pi }{2}}}$ 時，它就變成了連續傅立葉變換之逆變換的定義。

若 $\alpha$ 為 $\pi$ 的整數倍，則餘切函數和餘割函數不會收斂。

有一方法可解決此問題，就是取limit讓以上定義變成有一個狄拉克δ函數被積分的情況，使得

${\mathcal {F}}_{\alpha }={\mathcal {F}}_{\frac {k\pi }{2}}={\mathcal {F}}^{k}=({\mathcal {F}})^{k}$

反轉性質(Inverse)

$({\mathcal {F}}_{\alpha })^{-1}={\mathcal {F}}_{-\alpha }$

交換性(Commutativity)

${\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}$

結合律(Associativity)

$\left({\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}\right){\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}={\mathcal {F}}_{\alpha _{1}}\left({\mathcal {F}}_{\alpha _{2}}{\mathcal {F}}_{\alpha _{3}}\right)$

帕塞瓦爾定理(Parseval Theorem)

若從時頻分析圖上來看，代表的意義是在時頻分析上旋轉一角度後能量守恆

$\int f^{*}(u)g(u)du=\int f_{\alpha }^{*}(u)g_{\alpha }(u)du$

定理

$x(t)$ 的分數傅立葉轉換 ( $\phi$ )的時頻分布，等同於 $x(t)$ 的時頻分布(維格納分布,加伯轉換)順時針旋轉角度 $\phi$ ，用數學式子表示如下:

維格納分佈(Wigner distribution function)

假設

(a) $W_{x}(t,f)$ 是 $x(t)$ 的維格納分布

(b) $W_{X_{\phi }}(u,v)$ 是 $X_{\phi }(u)$ 的維格納分布

(c) $X_{\phi }(u)$ 是 $x(t)$ 的分數傅立葉轉換

，則 $W_{X_{\phi }}(u,v)=W_{x}(ucos(\phi )-vsin(\phi ),usin(\phi )+vcos(\phi ))$

加伯轉換(Gabor transform)

假設

(a) $G_{x}(t,f)$ 是 $x(t)$ 的加伯轉換

(b) $G_{X_{\phi }}(u,v)$ 是 $X_{\phi }(u)$ 的加伯轉換

(c) $X_{\phi }(u)$ 是 $x(t)$ 的分數傅立葉轉換

，則 $G_{X_{\phi }}(u,v)=G_{x}(ucos(\phi )-vsin(\phi ),usin(\phi )+vcos(\phi ))$

例子一:

對一個加伯轉換後的餘弦函數做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖

例子二:

對一個加伯轉換後的矩形函數做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖

應用

可用分解信號和濾除雜訊；一般來說分為兩種，一種是在時域(Time domain)上，一種是在頻域(Frequency domain)上，

這邊利用分數傅立葉轉換使其在分數域當中濾波。

(一)時域

假設現在 $x(t)$ 是由兩個信號組成:

x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)

，

$x_{1}(t)$ 和 $x_{2}(t)$ 用數學表示分別如下:

x_{1}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}0<t<1{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{otherwise }}{\mbox{ }}\end{cases}}

x_{2}(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}8<t<10{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{otherwise }}{\mbox{ }}\end{cases}}

h(t)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}-2<t<2{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{otherwise }}{\mbox{ }}\end{cases}}

由式子可以很明顯地看出， $x1(t),x2(t)$ 兩信號是方波。

若要將這兩個信號分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個信號在時域上毫無重疊，便可以直接在時域上將這兩個信號分開。

則 $x(t)$ 乘上 $h(t)$ 時， $x_{1}(t)$ 這個信號會被保留， $x_{2}(t)$ 這個信號就被濾掉了。

此作法可成功將這兩個信號分開。

限制

此種方法的限制為欲分解的信號必須在时域不能重疊，否則無法成功分解。

(二)頻域

x(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)

，

x_{1}(t)=sin(4\pi t)

，

x_{2}(t)=cos(10\pi t)

。

可以很明顯地看出 $x_{1}(t)$ 和 $x_{2}(t)$ 在時域上完全重疊，因此很難在時域分解這兩個信號。

此時，可以妥善利用傅立葉轉換將信號 $x(t)$ 轉到頻域，其在頻域的表示式如下所示:

X(f)=X_{1}(f)+X_{2}(f)

X_{1}(f)={\frac {\delta (f-2)-\delta (f+2)}{2}}

X_{2}(f)={\frac {\delta (f-5)+\delta (f+5)}{2}}

由 $X(f)$ 可以很明顯地看出，若要將這兩個信號在頻域上分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個信號經過傅立葉轉換後，在頻域上完全沒有重疊。

例子

假設 $H(f)$ 為一個低通濾波器(Low-pass Filter)

H(f)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}-3<t<3{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{otherwise }}{\mbox{ }}\end{cases}}

則 $X(f)$ 乘上 $H(f)$ 時， $X_{1}(f)$ 會被保留， $X_{2}(f)$ 就被濾掉了。

反之，若要保留 $X_{2}(f)$ 而濾掉 $X_{1}(f)$ ，則可以使用高通濾波器(High-pass Filter)。

這種把欲處理信號先轉換到頻域，再做分解的動作，是濾波器設計的常見方法之一。

限制

欲分解的信號必須在頻域不能重疊，否則無法成功分解。

(三)時頻域分解

x(t)=e^{j0.5(t-4)^{2}}

(啁啾雜訊) + 三角波信號。

三角波信號(藍色)是我們要的信號，將前面的啁啾(綠色)視為雜訊，由圖中可以發現到，

不論在時域或是頻域，皆無法直接將噪音項 $e^{j0.5(t-4)^{2}}$ 去除，這是因為 $e^{j0.5(t-4)^{2}}$ 和三角波信號在時域和頻域皆重疊(如下圖左上、右上)。

因此，對於兩個在時、頻域皆重疊的信號來說，很難在一維的時域和頻域中將其分解。

但若使用二維的時頻分析，則將有機會可以將兩個在時、頻域皆重疊的信號分解。

這是因為兩個在時、頻域皆重疊的信號其時頻分布並不一定會重疊。因此，只要這兩個信號的時頻分布沒有互相重疊，就可以善用分數傅立葉變換將其成功分解(如下圖左下、右下)。

例子一

假設有噪音干擾，所以接收到的信號除了原始信號以外，還包含了雜訊。

用時頻分析方法來處理接收到的信號，黑色為原始信號(signal)的時頻分布，而綠色為噪音(noise)的時頻分布，如下圖。

現在想把雜訊濾掉，以下探討3種方法來還原原始信號。

方法1 : 使用垂直的 Cutoff line

若在時頻分布圖中使用垂直的 Cutoff line ，就相當於在一維時域中，要把信號和噪音分離。

但是由下圖可清楚看出，使用垂直的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。

因此方法1無法完美重建原始信號，而會有扭曲的情形發生。

方法2 : 使用水平的 Cutoff line

若在時頻分布圖中使用水平的 Cutoff line ，就相當於在一維頻域中，要把信號和噪音分離。

但是由下圖可清楚看出，使用水平的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。

因此方法2也無法完美重建原始信號，而會有扭曲的情形發生。

方法3 : 使用斜的 Cutoff line

若在時頻分布圖中使用斜的 Cutoff line ，則可以完美分離信號和噪音。如下圖。

Cutoff line 的參數包含了 $\phi$ 和 $u_{0}$ ， $\phi$ 是cutoff line和縱軸f-axis的夾角，而 $u_{0}$ 則是cutoff line 距離原點的距離。

以下示範如何使用分數傅立葉轉換和Cutoff line來將噪音濾除:

步驟(1) 首先決定cutoff line和縱軸f-axis的夾角 $\phi$

步驟(2) 利用分數傅立葉轉換對時頻分布旋轉 $\phi$ ，使 cutoff line 垂直橫軸 t-axis。

步驟(3) 算出 $u_{0}$ 後，再利用低通遮罩(Low pass Mask)將噪音濾掉。

步驟(4) 最後再做一次分數傅立葉轉換 $-\phi$ ，將時頻分布旋轉回原來的位置。

令接收到的信號為 $x_{i}(t)$ ，最後得到的信號為 $x_{o}(t)$ ，可將以上步驟用數學式子表示如下:

x_{o}(t)=X_{-\phi }[{X_{\phi }(x_{i}(t))H(u)}]

H(u)={\begin{cases}1,&{\mbox{if}}u<u_{0}{\mbox{ }}\\0,&{\mbox{if}}u>u_{0}{\mbox{ }}\end{cases}}

例子二:

假設發射一信號s(t)，中間受到雜訊干擾，最後收到的訊號為f(t)=s(t)+noise

(a) 發射訊號的時域圖

(b) 接收訊號的時域圖

(c) 發射訊號的韋格納分布

(d) 接收訊號的韋格納分布，有由此可見cross-term已經大大的影響時頻圖的可見姓，加上雜訊後的韋格納分布更是無法清楚地將訊號分離開來

(e) 發射訊號的加伯轉換

(f) 接收訊號的加伯轉換

(g) 接收訊號的加伯-維格納轉換

(h) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊

(i) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊

(j) 對(i)做分數傅立葉轉換

(k) 利用高通濾波器濾波，把兩條cutoff lines設置在低頻

(l) 經過(k)濾波器以後

(m) 透過同上的手法再做兩次低通濾波器，把旁邊兩條線給去除後可得到的還原訊號

(n) 發射訊號(藍色)和還原訊號(綠色)的比較，兩者的MSE僅有0.1128%

由以上可知，透過分數傅立葉旋轉時頻圖的技巧來設計濾波器，我們可以精準地還原訊號

例子三:

一樣假設接收訊號受到了雜訊干擾

(a) 發射訊號

(b) 接收訊號

(c) 接收訊號的韋格納分

(d) 接收訊號的加伯轉換

(e) 接收訊號的加伯-維格納轉換，在這邊的濾波器需要五條cutoff lines(藍線)，但有兩條是垂直時間軸，可以直接在時間軸上去除，剩下的三條則需要利用分數傅立葉轉換來去除。

(f) 還原訊號，MSE僅0.3013%

比較傅立葉轉換和分數傅立葉轉換

傅立葉轉換

優點: 運算複雜度較低，有快速傅立葉轉換的演算法。

缺點: 僅有一個維度，頻域，來分析；雜訊若和訊號重疊，則難以分離。

分數傅立葉轉換

優點: 運用旋轉的技巧在時頻圖上去除雜訊，多了一個維度（時域）來分析；除非雜訊和訊號同時在頻域和時域上重疊，否則將可以分離兩訊號。

缺點: 運算複雜度較高。

外部連結

參考文獻

N. Wiener, "Hermitian polynomials and Fourier analysis," Journal of Mathematics Physics MIT, 18, 70-73 (1929).
V. Namias, "The fractional order Fourier transform and its application to quantum mechanics," J. Inst. Appl. Math. 25, 241–265 (1980).
Luís B. Almeida, "The fractional Fourier transform and time-frequency representations," IEEE Trans. Sig. Processing 42 (11), 3084–3091 (1994).
Soo-Chang Pei and Jian-Jiun Ding, "Relations between fractional operations and time-frequency distributions, and their applications," IEEE Trans. Sig. Processing 49 (8), 1638–1655 (2001).
D. H. Bailey and P. N. Swarztrauber, "The fractional Fourier transform and applications," SIAM Review 33, 389-404 (1991). (Note that this article refers to the chirp-z transform variant, not the FRFT.)
Haldun M. Ozaktas, Zeev Zalevsky and M. Alper Kutay. "The Fractional Fourier Transform with Applications in Optics and Signal Processing". John Wiley & Sons (2001). Series in Pure and Applied Optics.
Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2013