偏导数

在数学中，偏导数（英語：partial derivative）的定義是：一個多變量的函数（或稱多元函數），對其中一個變量（導數）微分，而保持其他变量恒定^{[註 1]}。

偏导数的作用与价值在向量分析和微分几何以及机器学习领域中受到广泛认可。

函数 $f$ 关于变量 $x$ 的偏导数写为 $f_{x}^{\prime }$ 或 ${\frac {\partial f}{\partial x}}$ 。偏导数符号 $\partial$ 是全导数符号 $d$ 的变体，由阿德里安-马里·勒让德引入，并在雅可比的重新引入后得到普遍接受。

简介

f = x 2 + xy + y 2

的图像。我们希望求出函数在点

(1, 1)

的对

x

的偏导数；对应的切线与

xOz

平面平行。

这是上图中

y = 1

时的图像片段。

假设ƒ是一个多元函数。例如：

z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}

因为曲面上的每一点都有无穷多条切线，描述这种函数的导数相当困难。偏导数就是选择其中一条切线，并求出它的斜率。通常，最感兴趣的是垂直于 $y$ 轴（平行于 $xOz$ 平面）的切线，以及垂直于 $x$ 轴（平行于 $yOz$ 平面）的切线。

一种求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。例如，欲求出以上的函数在点 $(1, 1)$ 的与 $xOz$ 平面平行的切线。右图中显示了函数的图像以及这个平面。左图中显示了函数在平面 $y = 1$ 上是什么样的。我们把变量 $y$ 视为常数，通过对方程求导，我们可以发现 $f$ 在点 $(x, y)$ 的导数，记为：

{\frac {\partial f}{\partial x}}=2x+y

于是在点 $(1, 1)$ 的 $xOz$ 平面平行的切线的斜率是3。

{\frac {\partial f}{\partial x}}=3

在点 $(1, 1)$ ，或称“ $f$ 在 $(1, 1)$ 的关于 $x$ 的偏导数是3”。

定义

函数 $f$ 可以解释为 $y$ 为自变量而 $x$ 为常数的函数：

f(x,y)=f_{x}(y)=\,\!x^{2}+xy+y^{2}

。

也就是说，每一个 $x$ 的值定义了一个函数，记为 $f x$ ，它是一个一元函数。也就是说：

f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}

。

一旦选择了一个 $x$ 的值，例如 $a$ ，那么 $f (a, y)$ 便定义了一个函数 $f a$ ，把 $y$ 映射到 $a 2 + ay + y 2$ ：

f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}

。

在这个表达式中， $a$ 是常数，而不是变量，因此 $f a$ 是只有一个变量的函数，这个变量是 $y$ 。这样，便可以使用一元函数的导数的定义：

f_{a}'(y)=a+2y

以上的步骤适用于任何 $a$ 的选择。把这些导数合并起来，便得到了一个函数，它描述了 $f$ 在 $y$ 方向上的变化：

{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=x+2y

这就是 $f$ 关于 $y$ 的偏导数，在这裡，∂是一个弯曲的d，称为偏导数符号。为了把它与字母d区分，∂有时读作“der”、“del”、“dah”或“偏”，而不是“dee”。

一般地，函数 $f (x 1,..., x n)$ 在点 $(a 1,..., a n)$ 关于 $x i$ 的偏导数定义为：

{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i}+h,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{n})}{h}}

在以上的差商中，除了 $x i$ 以外的所有变量都是固定的。这个固定值的选择决定了一个一元函数 $f_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots ,a_{n})$ ，根据定义，

{\frac {df_{a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i+1},\ldots ,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a_{1},\ldots ,a_{n})

这个表达式说明了偏导数的计算可以化为一元导数的计算。

多变量函数的一个重要的例子，是欧几里德空间 $R n$ （例如 $R 2 或 R 3$ ）上的标量值函数 $f (x 1,... x n)$ 。在这种情况下， $f$ 关于每一个变量 $x j$ 具有偏导数 $\partial f /\partial x j$ 。在点 $a$ ，这些偏导数定义了一个向量：

\nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right)

这个向量称为 $f$ 在点 $a$ 的梯度。如果 $f$ 在定义域中的每一个点都是可微的，那么梯度便是一个向量值函数 $\nabla f$ ，它把点 $a$ 映射到向量 $\nabla f (a)$ 。这样，梯度便决定了一个向量场。

一个常见的符号滥用是在欧几里得空间R³中用单位向量 $\mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}}$ 来定义Nabla算子 (∇) 如下:

\nabla ={\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {i}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial y}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {j}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial z}}{\bigg ]}\mathbf {\hat {k}}

或者，更一般地，对于n维欧几里得空间Rⁿ 的坐标(x₁, x₂, x₃,...,x_n)和单位向量( $\mathbf {{\hat {e}}_{1}} ,\mathbf {{\hat {e}}_{2}} ,\mathbf {{\hat {e}}_{3}} ,\dots ,\mathbf {{\hat {e}}_{n}}$ ):

\nabla =\sum _{j=1}^{n}{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{j}} ={\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{1}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{2}} +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{3}} +\dots +{\bigg [}{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\bigg ]}\mathbf {{\hat {e}}_{n}}

例子

圆锥的体积与它的高度和半径有关

考虑一个圆锥的体积 $V$ ；它与高度 $h$ 和半径 $r$ 有以下的关系：

V(r,h)={\frac {\pi r^{2}h}{3}}

。

$V$ 关于 $r$ 的偏导数为：

{\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}}

，它描述了高度固定而半径变化时，圆锥的体积的变化率。

$V$ 关于 $h$ 的偏导数为：

{\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}}

，它描述了半径固定而高度变化时，圆锥的体积的变化率。

现在考虑 $V$ 关于 $r$ 和 $h$ 的全导数。它们分别是：

{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {\partial h}{\partial r}}

以及

{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial h}}

现在假设，由于某些原因，高度和半径的比 $k$ 需要是固定的：

k={\frac {h}{r}}={\frac {\partial h}{\partial r}}

这便给出了关于 $r$ 的全导数：

{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}={\frac {2\pi rh}{3}}+k{\frac {\pi r^{2}}{3}}

可以化简为：

{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=k\pi r^{2}

类似地，关于 $h$ 的全导数是：

{\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\pi r^{2}

含有未知函数的偏导数的方程，称为偏微分方程，它在物理学、工程学，以及其它应用科学中经常会见到。

与关于 $r$ 和 $h$ 二者相关的全导数是由雅可比矩阵给出的，它的形式为梯度向量 $\nabla V=({\frac {\partial V}{\partial r}},{\frac {\partial V}{\partial h}})=({\frac {2}{3}}\pi rh,{\frac {1}{3}}\pi r^{2})$ 。