依概率收敛

在概率论中，依概率收敛是随机变量收敛的方式之一。一个随机变量序列 $(X_{n})_{n\geq 1}$ 依概率收敛到某一个随机变量 $X$ ，指的是 $X_{n}$ 和 $X$ 之间存在一定差距的可能性将会随着n 的增大而趋向于零。

依概率收敛是测度论中的依测度收敛概念在概率论中的特例^[1]。

定义

设 $(X_{n})_{n\geq 1}$ 是一个随机变量序列， $X$ 是一个随机变量。如果对于任意的正实数 $\epsilon >0$ ，都有：

\lim _{n\to \infty }\mathbb {P} (|X-X_{n}|\geq \epsilon )=0

那么称序列 $(X_{n})_{n\geq 1}$ 依概率收敛到 $X$ 。

依概率收敛是一种常见的收敛性质。依概率收敛比依分布收敛更强，比平均收敛则要弱。

如果一个随机变量序列依概率收敛到某一个随机变量，则它们也一定依分布收敛到这个随机变量。反过来则不然：只有当一个随机变量序列依分布收敛到一个常数的时候，才能够推出它们也依概率收敛到这个常数。