伯特蘭悖論
(重定向自伯特蘭悖論 (概率論))
伯特蘭悖論是指機率論的傳統解釋所導致的悖論,由約瑟·伯特蘭在他的著作《Calcul des probabilités》(1889) 中提出。[1]此悖論描述,當我們分析的機率課題牽涉到無限大的樣本空間時,且在使用「每個事件發生的機會皆相同」的原則時不夠謹慎,是未必能得到明確或肯定的結果的。[2]
伯特蘭悖論的內容
编辑伯特蘭悖論的內容如下:考慮一個內接於圓的等边三角形。若隨機選圓上的弦,則此弦的長度比三角形的邊較長的機率為何?
伯特蘭給出了三個論證,全都是明顯有效的,但導致的結果都不相同。
隨機的弦,方法1;紅=比三角形的邊較長,藍=比三角形的邊較短 隨機的弦,方法2 隨機的弦,方法3
上述方法可以如下圖示。每一個弦都可以被其中點唯一決定。上述三種方法會給出不同中點的分佈。方法1和方法2會給出兩種不同不均勻的分佈,而方法3則會給出一個均勻的方法。但另一方面,若直接看弦的分佈,方法2的弦會看起來比較均勻,而方法1和方法3的弦則較不均勻。
還可以想出許多其他的分佈方法。每一種方法,其隨機的弦會比三角形的邊較長的機率都可能不一樣。
傳統解答
编辑問題的傳統解答認為關鍵在於「隨機」選擇弦的方法。若選定了隨機選擇的方法,問題自然也就會有良好定義的解答。既然不存在一個唯一的選擇方法,那麼也就不存在一個唯一的解答。伯特蘭提出的這三種解答分別對應不同的選擇方法,若沒有更進一步的資訊,也沒有理由認為其中的一個解答會比另一個解答更好。
參考資料
编辑- Michael Clark. Paradoxes from A to Z. London: Routledge, 2002.
- ^ Bertrand, Joseph (1889), "Calcul des probabilités (页面存档备份,存于互联网档案馆)", Gauthier-Villars, p. 5-6.
- ^ Shackel, N., Bertrand's Paradox and the Principle of Indifference (PDF), Philosophy of Science, 2007, 74 (2): 150–175 [2023-02-28], S2CID 15760612, doi:10.1086/519028, (原始内容存档 (PDF)于2022-01-28)