二元运算

作用於兩個對象的運算

二元运算是種数学运算,它的運算結果跟兩個輸入值必須是同種東西,即元数为2的运算。比如說,兩個整數的加法是二元运算,因整數相加以後仍然是整數。

定义

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二元運算的定義 — 一個集合   上的二元运算是一個定義域是  對應域  函数

如果從集合   對自己的笛卡儿积 (也就是   )取出的任意   ,都會對應  的某個值   ,那對應規則   的本身就被稱為二元運算。

  通常写为   ,而且比起使用字母,二元运算時常以某种运算符表示,來跟普通的函數作區別。

事實上   這個記號本身就保證了:「只要   就會有   」,這個性質也稱為(二元)運算封閉性

常用性质和术语

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关于二元运算有很多常见的性质和术语,列举如下:

  是集合   上的二元运算, ,则:

  •   为一個  左幺元,若   满足: 
  •   为一個  右幺元,若   满足: 
  •   幺元,若   既是左幺元、又是右幺元。

  是集合   上帶有單位元   的二元运算,   。则:

  •   是一個  左逆元,若   满足:  
  •   是一個  右逆元,若   满足:  
  •   逆元,若   既是  左逆元、又是  右逆元。這種情況下   常被寫作   

  是集合   上的二元运算,   ,则:

  •   为一個左零元,若   满足:  
  •   为一個右零元,若   满足:  
  •  零元,若   既是左零元、又是右零元。

  是集合   上的帶有零元素   的二元运算,    。则:

  •   是一個左零因子,若   满足:   ,使得  
  •   是一個右零因子,若   满足:   ,使得  
  •   是一個零因子,若   既是左零因子、又是右零因子。

  是集合   上的二元运算,则: 称   满足交换律,若: 

  是集合   上的二元运算,则: 称   满足结合律,若:  

 :  是集合 上的二元运算,则:

 满足左消去律,若 满足: 

 满足右消去律,若 满足: 

 满足消去律,若 同时满足左消去律与右消去律。

 :  是集合 上的二元运算,则: 称 满足幂等律,若 满足: 

幂幺律

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 :  是集合 上的二元运算,i是  下的幺元, 则:称 满足幂幺律,若 满足: (显然此时每个元素都是它自己的逆元);

幂零律

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 :  是集合 上的二元运算,z是  下的零元, 则:称 满足幂零律,若 满足: ,有 (显然此时每个元素都是零元素,而且既是左零元素又是右零元素);

 :   :  是集合 上的两个二元运算,则:

  •    满足左分配律,若   满足: ,有 
  •    满足右分配律,若   满足: ,有 
  •    满足分配律,若   同時滿足左分配律和右分配律。